BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Matematika merupakan salah satu cabang ilmu
pengetahuan yang banyak sekali
manfaatnya. Demikian juga perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi yang
sangat pesat saat
ini tidak lepas
dari peran serta
ilmu matematika. Telah diketahui bahwa
banyak ahli matematika
mencoba mendefinisikan matematika sebagai
ilmu tentang bilangan
dan ruang, ilmu
tentang besaran, ilmu
tentang bentuk dan
lain sebagainya. Definisi
yang ada semuanya
benar, berdasar sudut pandang
tertentu. Ciri khas dari ilmu matematika yang tidak dimiliki pengetahuan lain
adalah (1) merupakan
abstraksi dari dunia
nyata, (2) menggunakan
bahasa simbol, dan (3) menganut
pola
Dalam dunia Islam matematika banyak dijumpai
dalam masalah faraidh, begitu juga dalam kitab suci Al
Qur’an. Banyak ayatyang di dalamnya memuat tentang
bilangan menyebutkan bahwa
terdapat
Abdusysyakir
(2006: 58) mengemukakan
bahwa setelah mengetahui bahwa
Al Qur’an berbicara
mengenai bilangan, maka
makna yang dapat ditangkap adalah
bahwa orang muslim
harus mengenal bilangan,
karena tanpa mengenal
bilangan, seorang muslim
tidak akan memahami
Al Qur’an dengan baik ketika membaca ayat-ayat yang berkaitan
tentang bilangan tersebut.
Dari
segi wilayah kajian,
Matematika berawal dari
ruang lingkup yang sederhana, yang
hanya menelaah tentang
bilangan dan ruang, namun
sekarang Matematika sudah
berkembang dengan menelaah
hal-hal yang membutuhkan daya pikir dan imajinasi tingkat tinggi
(Abdusysyakir, 2007:6).
Ilmu Matematika sangatlah luas, salah satunya
mempelajari tentang Teori Bilangan. Teori
Bilangan merupakan dasar
dari ilmu Matematika
khusus yang mempelajari
tentang bilangan bulat
(Niven, dkk, 1991:1).
Dalam teori bilangan juga
dipelajari suatu persamaan
Dhiophantine yang merupakan
persamaan polinomial (dengan
n peubah) yang mensyaratkan
selesaiannya berupa bilangan bulat.
Persamaan
Dhiophantine dibagi menjadi
dua ada yang
linear dan non linear
tergantung pangkat variabelnya. Dilihat daribanyaknya variabel persamaan Diophantine
ada yang dua,
tiga, sampai n variabel.
Diantara persamaan Diophantine
tersebut ada persaman
Diophantine linear dengan
dua peubah, persamaan
Dhiophantine linier dengan
tiga peubah dan
persamaan Diophantine non linear termasuk di dalamnya terdapat
persamaan Pell.
Persamaan
Diophantine memiliki bentuk
umum b x a x a x a x a n n n n =
+ + + + − − 1 1 2 2 1 ... , berlaku
untuk setiap N n ∈ dan Z b a a a a n ∈ , ,..., ,
, 3 2 . Dengan
n a a a a ,..., , , 3 2 merupakan
koefisien bilangan bulat, n
x x x x ,..., , , 3 2 menyatakan
variabel dan b adalah
konstanta, dengan selesaiannya
mensyaratkan bilangan bulat,
jika variabelnya dua,
maka disebut persamaan Diophantine linier dua peubah, jika
variabelnya tiga disebut persamaan Diophantine
linier tiga peubah dan lain sebagainya.
Persamaan Diophantine kuadrat dua dengan dua
variabel memiliki bentuk umum c by ax = + 2 dengan
Z c b a ∈ , , .
Selain itu juga
terdapat persamaan Diophantine dengan dua peubah yang mempunyai
bentukumum N Dy x = − 2 , untuk
Dkoefisien berupa bilangan bulat positif dan Nkonstanta berupa bilangan bulat.
Stark (1970: 149) memberikan contoh suatu
persamaanDiophantine yang berbentuk , 2 =
− dy x 1 2 − = − dy x
dengan x dan y
adalah variabel tidak diketahui menyebut
persamaan tersebut dengan
Persamaan Pell-Fermat atau hanya Persamaan
Pell. Sehingga dapat
didefinisikan bahwa persamaan N Dy x = − 2 dengan
diberikan bilangan bulat
D dan N serta x dan
y adalah variabel tak diketahui,
disebut sebagai persamaan Pell (Niven, dkk, 1991: 351).
Penyelesaian persamaan Pell N Dy x = − 2 dapat dicari dengan berbagai metode.
Pada pembahasan sebelumnya
untuk persamaan Pell
dengan nilai 1 ± = N telah diteliti oleh Ainun Jariah dan
Ismiatul Husniah. Persamaan tersebut diselesaiakan dengan
metode Brahmagupta dan
metode Pecahan Berulang.
Kesempatan
kali ini penulis
mencoba memperkenalkan penyelesaian
persamaan Pell dengan
menggunakan suatu algoritma
yang disebut dengan
algoritma PQa dan dengan menggunakan metode matriks.
Robertson
(2004: 4) menyebut
algoritma PQa sebagai
jantung dari beberapa
metode penyelesaian persamaan
Pell. Algoritma ini
menghitung ekspansi
dari pecahan berulang dari bentuk kuadrat irrasional Q D P + , untuk P0, Q0, dan Dberupa bilangan bulat tertentu.
Sesuai dengan uraian di atas, maka penulis
tertarikuntuk membahas dan mencoba mengembangkan
lebih lanjut pembahasan
tentang penyelesaian persamaan
Pell khususnya persamaan
Pell berbentuk 2 ± = − Dy x
dengan menggunakan algoritma PQa
dan metode matriks agar lebih mudah untuk mencari selesaiannya. Sesuai dengan latar belakang di
atas penulis memberi judul skripsi ini
dengan “PENYELESAIAN PERSAMAAN
PELL DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PQa DAN METODE MATRIKS”.
1.2.
Rumusan Masalah Berdasarkan latar
belakang di atas
dapat ditarik rumusan
masalah yang akan
dibahas dalam skripsi
ini yaitu bagaimana cara menyelesaikan
persamaan Pell dengan menggunakan algoritma PQa dan dengan
metode matriks.
1.3.
Tujuan Penelitian Adapun tujuan
dari penulisan skripsi
ini adalah untuk
mengetahui bagaimana cara
menyelesaikan persamaan Pell denganmenggunakan algoritma PQa dan dengan metode matriks.
1.4.
Batasan Masalah Agar penulisan
skripsi ini tetap terfokus pada pembahasan, maka penulis membatasi masalah pada penyelesaian persamaan
Pell berbentuk 2 ± = − Dy x dengan konstanta 4 ± = N dan koefisien Dbukan kuadrat sempurna.
1.5.
Manfaat Penelitian 1. Bagi penulis Menambah
wawasan dan ilmu
pengetahuan tentang cara
mengkaji dan membandingkan
penyelesaian permasalahan yang
ada dalam Matematika tentang konsep persamaan Diophantine,
khususnya persamaan Pell.
2. Bagi
Jurusan Matematika a. Memberikan sedikit sumbangsih yang berupa
bahan kajian dan pengembangan matematika murni,
sehingga selain dapat
menggunakan teori Matematika dalam
aplikasinya yang nyata
juga dapat mengembangkan
ilmu matematika itu sendiri.
b.
Sebagai bahan referensi
bahwa penyelesaian persamaan
Pell 2 ± = − Dy x dapat diselesaikan
dengan mudah dengan
menggunakan algoritma PQa
dan dengan metode matriks.
1.6.
Metode Penelitian Metode merupakan
cara utama yang
akan ditempuh untuk
menemukan jawaban dari
suatu permasalahan. Metode
penelitian yang digunakan
dalam penulisan skripsi
ini adalah metode
penelitian “Kajian Kepustakaan”
atau “Literature Study”.
Pembahasan pada skripsi ini dilakukan dengan: 1.
Mengumpulkan dan mempelajari
literatur yang berupa
buku-buku makalah, dokumentasi,
notulen, catatan harian,
internet dan lain-lain
yang berkaitan dengan
masalah penelitian yang
akan digunakan dalam menyelesaikan persamaan Pell. Adapun literatur
utama yang penulis gunakan berupa jurnal yang
berjudul "Solving the
generalized Pell equation
N Dy x = − 2 " karya John P.
Robertson dan "The
Pell Equation 2 ± = − Dy x " karya
Ahmet Tekcan.
0 komentar:
Posting Komentar