BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Matematika
secara umum merupakan sebuah ilmu yang mempelajari tentang pola dari struktur,
perubahan, dan ruang. Secara informal, matematika dapat pula disebut sebagai
ilmu tentang bilangan dan angka. Matematika merupakan alat yang dapat
memperjelas dan menyederhanakan suatu keadaan atau situasi melalui abstraksi,
idealisasi, atau generalisasi untuk suatu studi ataupun pemecahan masalah (Diknas, 2001:1).
Pada zaman dahulu, matematika
merupakan sebuah alat berpikir yang sederhana dari sekelompok orang untuk
menghitung dan mengukur barang-barang yang
dimilikinya. Kemudian matematika mengalami perkembangan hingga menjadi alat
pemikiran yang ampuh dari para ilmuwan untuk memecahkan persoalan-persoalan
yangrumit dalam suatu bidang ilmu.
Matematika digunakan sebagai
bahasa dari suatu ilmu dengan menetapkan berbagai lambang untuk mewakili
sesuatu sasaran yang diolahnya. Dengan Matematika pula, pemikiran ilmiah dalam
suatu bidang ilmu dapat dilakukan secara lebih jelas, lebih leluasa, dan lebih
ringkas. Hasil-hasil pemikiran ilmiah yang diungkapkan dalam bahasa matematika
lebih cermat dan tepat. Oleh karena itu, ilmu matematika dengan berbagai
cabangnya memiliki banyak terapan yang luas sampai sekarang.
Teori graf adalah salah satu dari
beberapa cabang ilmu matematika. Teori graf merupakan suatu pokok bahasan yang
mendapat banyak perhatian karena model-modelnya sangat berguna untuk aplikasi
yang luas, di antaranya diterapkan dalam
jaringan komunikasi, transportasi, ilmu komputer, riset operasi, dan lain sebagainya.
Representasi visual dengan graf adalah dengan menyatakan obyek sebagai titik
sedangkan hubungan antara obyek dinyatakan dengan garis. Graf dapat didefinisikan sebagai himpunan yang
tidak kosong yang memuat elemenelemen yang disebut titik, dan suatu daftar
pasangan tidak terurut dari elemen itu yang disebut sisi.
Banyak rumus dalam teori graf
termotivasi oleh keadaan nyata. Dari permasalahan yang timbul pada masalah
kehidupan sehari-hari timbul ide untuk menemukan rumus matematikanya, tentu
saja dengan dibebaskan dari arti dan makna sehari-hari. Teori graf sudah
dipelajari sejak lama, secara formal muncul pertama pada tahun 1736, yakni pada
tulisan Euler mengenai penyelesaian masalah
jembatan Konigsberg.
Teori graf merupakan salah satu
pokok bahasan yang memiliki banyak terapan praktis hingga saat ini. Graf
digunakan untuk merepresentasikan objekobjek diskrit dan hubungan antara
objek-objek tersebut. Dengan model teori graf yang tepat, suatu permasalahan
menjadi lebih jelas, sehingga mudah untuk dianalisis. Permasalahan yang dirumuskan
dengan teori graf dibuat sederhana, yaitu diambil aspek-aspek yang diperlukan
dan dibuang aspek-aspek lainnya.
Dalam Al-Quran elemen-elemen pada
graf yaitu titik dan sisi dapat merepresentasikan
Allah dan hamba-hamba-Nya, sedangkan sisi atau garis yang menghubungkan
elemen-elemen tersebut adalah bagaimana hubungan antara Allah dengan hamba-Nya
dan juga hubungan sesama hamba yang terjalin.
Gambar 1.1. Hubungan antara Tuhan
dengan Hamba-Nya serta Sesama Hamba Hal
ini dijelaskan oleh firman Allah dalam Al Quran surat Ali Imran ayat 112,
yaitu: Artinya: Mereka diliputi kehinaan di mana saja mereka berada, kecuali
jika mereka berpegang kepada tali (agama) Allah dan tali (perjanjian) dengan
manusia, dan mereka kembali mendapat kemurkaan dari Allah dan mereka diliputi
kerendahan. Yang demikian itu, karena mereka kafir kepada ayat-ayat Allah dan
membunuh para nabi tanpa alasan yang benar. Yang demikian itu, disebabkan
mereka durhaka dan melampaui batas (Q.S. Ali Imran: 112).
Aplikasi dari teori graf sangat
luas dan dipakai dalam berbagai disiplin ilmu maupun dalam kehidupan
sehari-hari. Penggunaan graf di berbagai bidang tersebut digunakan untuk
memudahkan suatu permasalahan dengan cara membuat sebuah model matematika dari
permasalahan tersebut, kemudian model matematika tersebut diselesaikan. Teori graf
juga sangat berguna untuk mengembangkan model-model yang terstruktur
dalam berbagai situasi. Dalam implementasinya
teori graf banyak digunakan antara lain di dalam bidang kelistrikan, kimia
organik, ilmu komputer. Bahkan dewasa ini teori graf digunakan secara
besar-besaran dalam bidang ekologi, geografi, antropologi, Tuhan 2 manusia 3
manusia 1 manusia genetika,
fisika, elektronika, pemrosesan informasi, arsitektur, dan desain. Selain itu
juga, teori ini banyak dimanfaatkan secara praktis dalam bidang industri.
Suatu pokok bahasan dalam teori
graf adalah graf planar. Graf disebutgraf planar jika dapat digambarkan pada suatu
bidang sehingga antara dua sisi berbeda hanya akan bersekutu pada titik ujung
(Bondy dan Murty, 1976:135). Dengan kata lain, graf planar adalah graf yang dapat
digambar pada bidang sehingga tidak ada sisi
yang saling berpotongan. Graf planar yang sudah digambar pada bidang disebut
graf bidang (plane graf).
Misalkan G adalah suatu graf
bidang. Didefinisikan graf baru G* sebagai berikut. Masing-masing muka pada G
diwakili oleh titik pada G*. Dua titik a dan b pada G* akan saling terhubung
langsung jika dan hanya jika muka yang diwakili
oleh dua titik itu saling berbatasan langsung di G. dua titik a dan b akan terhubung langsung oleh sebanyak sisi yang
terdapat pada perbatasan (boundary) dua muka yang diwakilinya pada G. Graf G*
ini kemudian disebut graf dual dari G. Graf dual dari graf bidang selalu berbentuk
graf bidang. Suatu graf bidang yang isomorfik dengan graf dualnya disebut graf
self-dual, yaitu graf yang dualnya adalah dirinya sendiri.
Permasalahan mengenai graf dual
masih relatif baru dan belum ada yang membahas. Oleh sebab itu, dalam skripsi ini
dibahas mengenai graf dual dari graf roda (Wn ) dan graf helm tertutup (cHn ).
Pemilihan graf roda dan graf helm tertutup berdasarkan alas an bahwa graf
tersebut adalah graf planar dan mempunyai bentuk yang khas. Pembahasan akan
difokuskan pada bentuk graf dual dari graf roda (Wn ) dan graf helm tertutup
(cHn ) serta melihat apakah graf roda dan graf helm tertutup merupakan graf
self-dual.
Graf roda, khususnya graf roda
dengan 4 empat titik atau W dapat digambarkan
sebagai berikut. Gambar 1.2.Graf Roda Order 4 atau W Gambar 1.2 tersebut dapat juga menjadi
ilustrasi dari gambar kabah di Masjidil Haram.
Titik pusat roda menggambarkan titik pusat kabah, sedangkan empat titik pada sikel
menggambarkan titik sudut kabah. Titik sudut itu antara lain adalah titik
Syamsi, titik Yamani, dan titik Hajar Aswad. Gambarnya adalah sebagai berikut. Gambar
1.3. Representasi Kabah dalam Graf Roda Berkaitan
dengan kabah di Masjidil Haram, terdapat suatu ibadah yang disebut Thawaf.
Thawaf secara umum adalah ibadah dengan cara mengelilingi kabah sebanyak 7
kali, 3 putaran pertama dilakukan dengan berlari-lari kecil (jika mungkin), dan selanjutnya berjalan biasa. Satu
putaran Thawaf dimulai dari Hajar Aswad
dan diakhiri di Hajar Aswad lagi setelah melewati titik/rukun Yamani.
Rukun Yamani Hajar Aswad Rukun
Syamsi Pusat Ka'bah Thawaf dilakukan dengan memutar berlawanan arah dengan
putaran jarum jam, atau dengan menempatkan kabah pada posisi orang yang
berthawaf.
Mengingat banyaknya orang yang
melakukan Thawaf, maka kemudian perlu menarik garis lurus yang melalui pusat
kabah dan Hajar Aswad. Garis ini berfungsi sebagai pedoman bagi orang yang akan
melakukan Thawaf pada lingkaran-lingkaran luar yang jauh dari Kabah. Di
Masjidil Haram, garis ini dibuat berwarna coklat. Jika digambarkan dalam bentuk
graf, maka akan diperoleh graf berikut, yang tidak lain berbentuk graf helm
tertutup dengan titik sebanyak 4 atau cH
. Gambar
1.4.Representasi Garis Awal dan Akhir Thawaf dalam Bentuk Graf Helm Tertutup Berdasarkan
uraian tersebut di atas, maka dalam penelitian ini penulis akan mengkaji
tentang graf dual, dengan judul Graf Dual (Dual Graph) dari Graf Roda (W n) dan Graf Helm Tertutup (cH n ).
Contoh Skripsi Matematika:Graf Dual (Dual Graph) dari Graf Roda (Wn) dan Graf Helm Tertutup (cHn)Downloads Versi PDF >>>>>>>Klik Disini
0 komentar:
Posting Komentar