BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Teori bilangan, seperti halnya aljabar,
geometri, dan topologi, merupakan cabang
dari disiplin ilmu matematika yang mempunyai banyak permasalahan yang menarik untuk dikaji. Selain keterbagian,
keprimaan, dan kongruensi, permasalahan
lain yang juga menjadi bagian penting dalam teori bilangan adalah fungsi aritmetika. Suatu fungsi fdikatakan
fungsi aritmetika jika C Z f → + :, atau dengan kata lain, fungsi aritmetika
adalah fungsi bernilai komplek dengan domain
himpunan bilangan asli (Burton,2005: 102). Koleksi dari fungsi-fungsi aritmetika membentuk suatu himpunan
yangterdiri dari beberapa subset, dan biasanya
subset tersebutdikelompokkan berdasarkan sifat atau karakteristik tertentu. Salah satu sifat dominan yang
dimiliki oleh sebagian besar fungsi-fungsi aritmetika adalah sifat multiplikatif, yaitu
misal fadalah fungsi aritmetika, maka f(ab)
= f(a)f(b) untuk setiap (a,b) = 1 (Burton, 2005: 106).
Jadi, misal Aadalah himpunan fungsi aritmetika dan Madalah
himpunan fungsi multiplikatif, maka M ⊂ A.
Kemudian, terhadap dua fungsi
multiplikatif atau lebih, dapat dilakukan operasi aljabar untuk memperoleh fungsi yang
lain. Selain dikenal fungsi penjumlahan
dan perkalian, atau yang secara berturut-turut dinotasikan (f+ g)(n) = f(n) + g(n) dan (f· g)(n) = f(n) · g(n).
Salah satu operasi aljabar yang sering dihubungkan
dengan fungsi multiplikatif adalah
Dirichlet productyang dinyatakan
oleh: ∑ = ∗ n d d n g d f n g f | ) ( ) ( )
)( (. Ini merupakan hal yang menarik
untuk dikaji bahwa topik tentang fungsi multiplikatif
dan Dirichlet productdapat dibawa ke dalam teori grup. Mengingat bahwa grup adalah suatu himpunan tak kosong
dengan satu operasi biner yang memenuhi
empat aksioma, yaitu: tertutup, asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai invers, maka pembuktian keempat
aksioma tersebut merupakan hal yang
perlu dilakukan untuk mengetahui apakah (M,∗) adalah
grup.
Pentingnya pembuktian pada
penelitian ini dan juga pada ilmu pengetahuan yang lain dijelaskan dalam Al-Quran surat Al-Isra’
ayat 36 yang berbunyi: Ÿωuρ ß#ø)s?
$tΒ }§øŠs9 y7s9
⎯ÏμÎ/
íΟù=Ïæ 4 ¨βÎ) yìôϑ¡¡9$# u|Çt7ø9$#uρ yŠ#xσàø9$#uρ ‘≅ä. y7Íׯ≈s9'ρé& tβ%x.
çμ÷Ψtã Zωθä↔ó¡tΒ ∩⊂∉∪ Artinya: “Dan janganlah kamu mengikuti apa
yang kamu tidak mempunyai pengetahuan
tentangnya. Sesungguhnya pendengaran, penglihatan dan hati, semuanya itu akan diminta pertanggungan
jawabnya”(Al-Isra’: 36).
Kalimat pertama dari ayat di atas
secara jelas mengisyaratkan ajakan AlQuran pada kehati-hatian dan upaya
pembuktian terhadap semua berita, semua fenomena,
dan semua gerak sebelum memutuskan segala sesuatu, sehingga tidak ada lagi hipotesis atau perkiraan yang rapuh
dalam bidang penelitian, eksperimen, dan
ilmu pengetahuan (Shihab, 2002: 464).
Terkait dengan ayat di atas,
makacontoh-contoh fungsi aritmetika yang merupakan fungsi multiplikatif juga tentang
adanya struktur grup pada himpunan fungsi
multiplikatif atas operasi Dirichlet productbelum dapat diketahui jika belum dilakukan penelitian atau pembuktian.
Dari sini, penulis mencoba mengungkapkan
argumen-argumen yang bersifatrasional, logis, dan sistematis untuk menjawab berbagai permasalahan di atas.
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah diatas,
dapat dirumuskan beberapa permasalahan
sebagai berikut: 1. Bagaimanakah contoh-contoh fungsi aritmetika
yang merupakan fungsi multiplikatif ? 2.
Apakah himpunan fungsi multiplikatif atas operasi Dirichlet product merupakan
grup ? 1.3 Tujuan Penulisan Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka
jelas bahwa tujuan penulisan skripsi ini
adalah 1. Untuk mengetahui contoh-contoh fungsi
aritmetika yang merupakan fungsi multiplikatif.
2. Untuk mengidentifikasi apakah (M,∗) adalah grup, dimana Madalah himpunan fungsi multiplikatif dan “∗” adalah operasi Dirichlet product.
1.4 Manfaat Penulisan Kesimpulan yang dicapai pada penulisanskripsi
ini sangat bermanfaat dalam pengembangan
disiplin ilmu matematika, khususnya teori bilangan dan aljabar abstrak. Adapun manfaat penulisan skripsi ini
antara lain: 1. Dengan mengetahui contoh-contoh fungsi
aritmetika yang merupakan fungsi multiplikatif,
akan mempermudah proses manipulasi
aljabar dalam perhitungan teknis yang
melibatkan fungsi-fungsi tersebut.
2. Dapat membangun bentuk general
darifungsi-fungsi aritmetika dengan menggunakan
sifat multiplikatif yang dimilikinya.
3. Jika diketahui bahwa himpunan fungsi
multiplikatif atas operasi Dirichlet productmembentuk
grup, maka bentuk-bentuk fungsi multiplikatif yang lain dapat dibangun dengan mengkombinasikan dua
atau lebih fungsi multiplikatif menggunakan
operasi Dirichlet product.
1.5 Metode Penelitian Pada penelitian ini, pendekatan penelitian
yang digunakan adalah menggunakan
penelitian kepustakaan (library research). Studi kepustakaan merupakan penampilan argumentasi penalaran
keilmuan yang memaparkan hasil kajian
literatur dan hasil olah pikir peneliti mengenai suatu permasalahan atau topik kajian. Studi kepustakaan berisi satu
topik kajian yang di dalamnya memuat beberapa
gagasan dan atau proposisi yang berkaitan dan harus didukung oleh data yang diperoleh dari sumber kepustakaan. Sumber
kajian pustaka dapat berupa jurnal
penelitian, disertasi, tesis, skripsi, laporan penelitian, atau diskusi-diskusi
ilmiah. Bahan-bahan pustaka tersebut
harus dibahas secara mendalam sehingga mendukung
gagasan dan atau proposisi untuk menghasilkan kesimpulan dan saran.
Data yang diperlukan dalam
penelitian ini adalah data yang bersifat tekstual meliputi fungsi multiplikatif, operasi
Dirichlet product, dan pembahasan keduanya
dalam teori grup. Dalam memahami data-data yang berupa teks dalam buku-buku literatur diperlukan suatu analisis.
Metode analisis yang digunakan dalam
penelitian ini adalah metode deduksi, yaitu cara berpikir yang berangkat dari hal-hal umum menuju kesimpulan yang khusus.
1.6 Sistematika Pembahasan Dalam penyusunan skripsi ini, penulis membagi
menjadi empat bab, yaitu: 1. BAB I, berisi: latar belakang, rumusan
masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian,
metodologi penelitian, dan sistematika pembahasan.
2. BAB II adalah kajian pustaka. Pada bab ini
mencakup beberapa teori, yaitu: keterbagian,
kongruensi, fungsi (meliputi fungsi aljabar dan fungsi aritmetika), deret Dirichlet dan operasi Dirichlet product,
grup, serta kajian keagamaan.
3. BAB III adalah pembahasan, yaitu kajian
tentang fungsi multiplikatif dan operasi
hasil kali dirichlet dalam teori grup.
4. BAB IV adalah penutup dari penyusunan skripsi
ini yang berisi kesimpulan dan
saran-saran.
BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Keterbagian Bilangan-bilangan pembagi, kelipatan, dan
bilangan prima maupun komposit adalah
konsep yang sudah diketahui dan dipelajari sekurang-kurangnya pada masa Euclid, sekitar 350 SM. Ide dasarnya
dikembangkan sebagai berikut.
Definisi 2.1 Suatu bilangan bulat bhabis dibagi oleh suatu
bilangan bulat a ≠0, jika terdapat suatu
bilangan bulat xsehingga b= ax, dan dituliskan dengan a| b. Jika btidak habis dibagi oleh aditulis a b(Niven dkk,
1991: 4).
Dengan perkataan lain a| bdibaca
‘amembagi b’, juga boleh dikatakan b adalah kelipatan dari a. Kemudian jika a|
bdan 0 < a< b, maka adisebut pembagi
sejati dari b.Selanjutnya a| btidak didefinisikan jika a = 0, tetapi b | 0 berlaku untuk setiap bilangan bulat b ≠ 0.
Contoh Skripsi Matematika:Fungsi Multiplikatif dan Dirichhlet Product Dalam Teori GrupDownloads Versi PDF >>>>>>>Klik Disini
0 komentar:
Posting Komentar