BAB I PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang Al Qur’an t el ah
mem beri kan kepada manusi a
kunci i lmu pengetahuan tentang
duni a dan akhi rat
serta meny edi akan peral atan
unt uk mencari dan
menel i t i segal a sesuatu
agar dapat mengungkap
dan mengetahui keaj ai ban
dari kedua duni a
i t u (Rahman, 1992:12).
Ti dak di ragukan l agi
bahwa Al Qur’an, dengan anj uran
mem perhati kan dan berfi ki r
y ang di ul angi ny a beberapa
kal i menj adi kan akti vi tas
st udi dan penel i t i an dalam
berbagai bi dang sebagai
sebuah keharusan bagi
um at Islam . Karena
i t u Islam mem eri ntahkan manusi a
unt uk beri badah dan berfi
ki r (Pasy a, 2004:5).
Manusia
tel ah di ciptakan dengan
kelebihan akal , mempunyai
peranan sangat pent ing
unt uk dapat menggali
dan memanfaatkan segala
bent uk ci ptaanNya. Dengan
semua kelebihannya, manusia
berperan unt uk mengembangkan
ilmu pengetahuan. Sel anjutnya
melalui akt ivi tas st udi
dan peneli t iannya manusia
diharuskan mampu memahami kebenaran
AlQur’an.
Alam semest a
memuat bentukbent uk dan
konsep matemat i ka, meskipun al am
semest a t erci pta sebelum
matemat i ka i t u ada.
Alam semest a serta
segala isinya diciptakan
Allah dengan ukuran
– ukuran yang
cermat dan teli t i ,
dengan perhi tunganperhi
tungan yang mapan,
dan dengan rumusrumus
serta persamaa n yang seimbang dan rapi (Abdusysyakir, 2007:79).
Semua yang ada di alam ini
ada ukurannya, ada hitungan hi
tungannya, ada rumusnya, atau ada persam
aannya. Namun rumus rumus yang ada sekarang buka n di ciptakan
manusia sendi r i , t etapi
sudah disediakan. Manusia
hanya menemuka n dan menyimbo l kan dal am bahasa matemat i ka
(Abdusysyakir, 1997:80).
Secara umum beberapa konsep dari disiplin ilmu tel ah dijelaskan dal am al Quran,
salah satunya adalah
matemat i ka. Konsep dari
disiplin ilmu matemat i ka yang
ada dalam al Quran
di antaranya adalah
masalah l ogika, pemodelan, stat ist i k, himpunan, grup, dan l ain lain.
Aljabar
merupakan salah satu
cabang dari ilmu
matemat i ka, sedangkan cabang
dari ilmu aljabar
i t u sendi r i ant ara
l ain aljabar abstrak
dan aljabar linier.
aljabar
abstrak memiliki banyak
materi yang dapat
dibahas dan dikembangkan.
Materi yang
dibahas pada aljabar
abstrak pada dasarnya
tentang himpunan da n operasinya. Sehingga
dalam mempelajari materi
ini , selalu ident i k
denga n himpunan yang t
i dak kosong y ang
mempunyai elemenelemen yang
dapat di operasi kan dengan satu
atau l ebih operasi biner.
Kajian mengenai
himpunan sudah ada
dalam al Qur’an. Misalnya, kehidupan
manusia yang t erdi r i
dari berbagai macam
go l ongan. Di mana gol
ongan merupakan bagian
dari himpunan karena
himpunan sendi r i merupakan kumpulan
objekobjek yang terdefinis i . Dalam
alQuran surat al Fat ihah
ayat 7 di sebutkan.
Si stem aljabar
merupakan salah satu
materi pada bagian
aljabar abstrak yang
mengandung operasi biner.
Himpunan dengan satu
atau l ebih operasi
biner di sebut sistem aljabar. Sistem
aljabar dengan satu
operasi biner yang
memenuhi sifatsifat tertent u
y ang disebut grup.
Sedangkan kajian himpunan
dengan satu operasi
biner dalam konsep
Islam yai t u, bahwa
manusia adalah diciptakan
secara berpasangpasangan. Perhat i kan
firman Allah SWT
dalam surat AlFaat hir
ayat 11.
Dar i firman
di atas bahwa
manusia adalah berpasangpasangan yai t u
laki lak i dengan perempuan.
Si stem
aljabar dengan dua
operasi biner y ang
memenuhi syaratsy arat tertent u
y ang disebut ring.
Sedangkan kajian himpunan
dengan dua operasi
biner dal am konsep
islam yai t u, bahwa
manusia adalah diciptakan
secara berpasang pasangan
dan cara memasangkannya dengan
hukumhukum tertent u. Perhati ka n fi rman
Allah SWT dalam surat AlNisaa ayat 23.
Maka dari
firman di atas
bahwa manusia adalah
berpasangpasangan ant ara laki laki
dan perempuan dengan
menikah. Akan tet api
cara menikah denga n pasangannya harus secara hukum agama.
Sedangkan
sistem al j abar y ang
dikem bangkan dengan mem puny ai
dua himpunan y ang
t i dak kosong dengan
dua operasi bi ner
dan mem enuhi sy arat sy arat
t ertent u di sebut dengan
modul . Seperti y ang
di j el askan bahwa pada
ri ng di bahas homomorf i sme ri ng
dan pada modul
j uga di bahas homomorf i sme modul .
Himpunan
sem ua homomorf i sme modul
dengan domai n dan
kodomai anny a sam a di sebut
dengan endomorf i sme dan
apabi l a himpunan tersebut
mem bent uk ri ng maka di
sebut ri ng endomorf i sme. Oleh karena i t u,
maka di si ni penul i s
t ertari k unt uk mengkaj i
tentang homomorf i sme modul
dan ri ng endomorf i sme, dengan j udul “Kajian Homomorfisme Modul dan Ring
Endomorfisme”.
1.2.
Rumusan Masalah Berdasarkan l atar
bel akang masal ah y ang
t el ah di urai kan di
atas maka penul i s
akan mem bahas tentang
homomorf i sme modul dan
ri ng endomorf i sme.
Oleh
sebab i t u, maka rum usan
masal ah dal am ski ri psi
i ni adal ah a.
Bagaimanakah si f atsif at dari
homomorfi sme modul ? b.
Bagaimanakah si f atsif at dari
endomorf isme? 1.3. Tujuan Masalah Sesuai
dengan l atar bel akang
dan rum usan masal ah
y ang t ertul i s di atas.
Maka t uj uan pem bahasan skri psi
i ni adal ah.
a. Unt uk menj elakan si fatsifat
dari homomorfi sme modul .
b. Unt
uk menj elaskan si f atsifat dari
endomorfi sme.
1.4.
Manfaat Hasi l peneli t i an y ang
berupa pem bahasan masal ah i ni
berm anfaat bagi : 1.
Bagi Penuli s a.
Menam bah pengetahuan dan
kei lmuan tentang hal hal
y ang berkai t an dengan homomorfi sme modul
dan ri ng endomorf i sme.
b.
Mengem bangkan wawasan kei lmuan
tentang pendeskri psi an tentang homomorf i sme
modul dan ri ng
endomorf isme.
2.
Bagi Lem baga a.
Sebagai bahan i nf ormasi
tentang pem belajaran al j abar abstrak.
b.
Sebagai tam bahan bahan
kepustakaan.
3.
Bagi mahasi swa: sebagai
bahan i nf ormasi unt uk
kaj i an l ebi h l anj ut mengenai
al j abar abstrak.
1.5.
Metode Pembahasan Metode yang
digunakan dalam peneli t ian
ini adal ah metode
peneli t ia n kepustakaan (library
research) atau kajian
pustaka, y akni melakukan
peneli t ian unt uk memperol eh
datadata dan informasi inf
ormasi serta obj ek
yang digunaka n dal am pembahasan
masalah tersebut. St udi
kepustakaan merupakan penampilan argumentasi penalaran
keilmuan unt uk memaparkan
hasil o lah piki r
mengena i suatu permasalahan
atau to pi k kajian
kepustakaan y ang dibahas
dalam peneli t ia n ini .
Adapun
langkah langkah yang akan
digunakan o l eh peneli t i
dala m membahas peneli t ian ini
adalah sebagai beri kut: 1.
Mencar i li t eratur utama yang dijadi kan acuan dalam pembahasan ini. Li t eratur yang
dimaksud adalah buku
tentang dan aljabar
abstrak karangan David
S Dummit dan Richard M. Foote yang di t erbi tkan
tahun 1991.
2.
Mengumpul kan berbagai li t
eratur pendukung, baik y ang bersumber
dari buku, jurnal , arti kel,
diktat kuliah, internet,
dan lainnya y ang
berhubungan dengan permasalahan y ang akan dibahas dal am peneli t
ian ini .
3.
Memahami dan mempelajari
konsep homomorfisme modul
dan r ing endomorfisme.
4.
Menerapkan konsep homomorfisme
modul dan r ing
endomor fisme unt uk menjelaskan sifatsifatnya dengan langkah langkah sebagai berikut: a. Menentukan definis i
yang berkai tan dengan
homomor fisme modul da n r
ing endomorfisme, kemudian mrmberikan contoh dari definisi tersebut.
b.
Menentukan teorem a yang
berkai tan dengan homomor fisme
modul da n r ing endomorfisme, kemudian membukt i kan
teorema tersebut.
c.
Menjelaskan sifatsifat dari
homomorfisme modul dan
endomorfisme.
d. Mem
buat def i ni si baru
dan teorem a baru,
dari gabungan ant ara
def i ni si dan teorem a y ang t el ah ada.
1.6. Sistematika Pembahasan Agar penulisan
skri psi ini lebih terarah, mudah di t el aah dan
dipahami, maka di gunakan sistemati ka
penulisan y ang terdi r i dari
empat bab y ai t u: BAB I PENDAHULUAN Pendahuluan
meliput i : latar belakang
permasalahan, rumusan masalah,
t uj uan peneli t i an, manfaat
peneli t ian, metode peneli t ian
dan sistemat i ka penulisan.
BAB II
KAJIAN PUSTAKA Bagian ini
terdi r i atas konsepkonsep
(t eori teori) y ang mendukung bagian
pembahasan, ant ara l ain
pengert i an grup, sifatsif at
grup, ring, sifatsifat
r ing, pengerti an modul ,
sifatsifat modul , dan
kajian dala m agama.
BAB III
PEMBAHASAN Pembahasan berisi
tentang homomorfisme modul ,
sifatsifat homomorfisme modul ,
r ing endomor fisme, dan
sifatsif at r ing endomorfisme.
BAB IV
PENUTUP Pada bab ini akan dibahas tentang kesimpulan dan saran.
BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1.
Grup Sal ah satu
sistem aljabar yang
paling sederhana adalah
grup. Grup di definis ikan sebagai
himpunan t ak kosong
yang dilengkapi dengan
operasi biner yang
memenuhi beberapa aksi oma,
di ant aranya tertutup,
asosiatif, memilik i el emen
ident i tas, dan memiliki
elemen invers. Apabila
salah satu aksi oma
t i dak terpenuhi maka bukan grup.
Si stem
aljabar ( )
, G ×
dengan himpunan t i dak
kosong di G
dan operasi biner
× di definis ikan di
G adal ah grupoi d.
Grupoi d j uga disebut
semigrup jika operasi
biner × di
G adalah assosiatif .
Sedangkan semigrup yang
mempunya i el emen ident i tas di G di sebut mono i d (Raisinghania &
Aggarwal, 1980:32) Sebagai contoh,
misalkan himpunan N adalah bilangan
asli dengan operasi penjumlahan adalah
semigrup, karena operasi
biner di N
adalah penjumlahan, maka
N bersifat assosi at if . Jadi
(N,+) adalah semigrup.
Tetapi (N,+) bukan mo
no i d, karena operasi
penjumlahan t i dak mempunyai
ident i tas di N,
jadi (N,+) bukan grup.
0 komentar:
Posting Komentar