BAB I PENDAHULUAN
I.1. Latar Belakang Metode numerik adalah salah satucabang atau
bidang matematika, khususnya matematika
rekayasa, yang menggunakan bilangan untuk menirukan proses matematika (Djojodiharjo,2000:1).
Proses matematika ini selanjutnya dirumuskan
untuk menirukan keadaan yang sebenarnya. Di dalam kegiatan rekayasa dan penelitian, setiap
analisisdiharapkan dapat menghasilkan bilangan, yang diperlukan dalam perencanaan teknik
ataupun penghayatan masalah.
Mempelajari atau menerapkan metode numerik,
haruslah dilandasi oleh beberapa pemikiran
dasar, baik berupa manfaat (modal,asset) maupun kendala. Dalam
metode numerik ada lima pokok pemikiran dasar yang melandasinya, pertamaadalah perlu dipahami
bahwa setiap perhitungan (komputasi)
mempunyai tujuan, yaitu tujuan utamanya
adalah penghayatan masalah bukan hanya
untuk memperoleh bilangan dan selain itu
juga dapat diketahui hitungan yang tepat
atau sebenarnya. Selanjutnya, dalam melakukan penghitungan, hendaknya dipilih proses
perhitungan atau algoritma yang efisien, yaitu yang memerlukan waktu perhitungan yang
sependek mungkin, dengan demikian tujuan
perhitungan dapat memperoleh penghayatan masalah secara tepat dalam waktu yang sesingkat mungkin.
Pemilihan
rumus atau algoritma tertentu yang tidak
hanya mempengaruhi perhitungan saja tetapi juga pengertian tentang hasil yang diperoleh. Berbagai cara
perhitungan menghasilkan hasil antara, menggunakan
sejumlah iterasi tertentu yang diperlukan atau pemilihan selang yang sering
kali bermanfaat dalammemberikan pengertian tentang masalah yang dihadapi. Dengan demikian, perhitungan erat
kaitannya dengan sumber masalah maupun
penggunaan jawaban yang diinginkan, dan tidak dapat dipisahkan dari realitas. Hal ini dapat dilihat
padaberbagaicontoh aplikasiyang dibahas oleh penulis di bab-bab selanjutnya. Pemikiran
keduaadalah bila tujuan komputasi adalah
penghayatan masalah, maka perlu dipelajari ciri kelompok masalah dan kaitan antara kelompok satu denganlainnya jika
mungkin, dan rumus serta algoritma yang
terlalu khusus sifatnya perlu dipelajari. Disini terletak beda antara analisis numerik dengan metode numerik,
analisis numerik lebih ditekankan pada pengkajian
mendalampada soal khusus, yang relevansinya dengan realitas kurang diperhatikan, sedangkan metode numerikberusaha
untuk memahamikebutuhan akan metode
untuk menangani masalah yang tak terhingga jumlahnya yang mungkin timbul dalam kenyataan. Pemikiran yang
ketigaadalah menyangkut galat
(kesalahan)pembulatan. Galat pembulatan timbul karena dalam aplikasi, khususnya dengan penggunaan mesin hitung dan
komputer, bilangan hanya menyatakan
dalamangka (digit) yang terbatas jumlahnya (misalnya 6 angka, 8 angka). Pada mesin (computerdan kalkulator),
angka dinyatakan dengan 0,333…3, yang memiliki galat pembulatan. Galat
terbesar terjadi, bila dua bilangan yang
hampir samabesarnya dikurangkan, karena beberapa angka di depan saling meniadakan. Yang harus diusahakan
dalam komputasi adalah menghindari galat
pembulatan yang terlalu besar, dan bukan hanya menaksirnya.Pemikiran
keempatadalah menyangkut keterbatsan proses komputasi bila dilaksanakan oleh mesin. Karena mesin
mempunyai kecepatan terbatas (walaupun sangat
besar), maka untuk selang waktu tertentu hanya dapat melakukan komputasi yang terbatas jumlahnya. Oleh karena
itu, timbul galat (kesalahan) pemotongan.
Pemikiran kelimaadalah umpan balik (feedback). Bilangan yang dihasilkan pada satu tahap akan dipergunakan
oleh komputer untuk komputasi tahap
berikutnya, dan seterusnya. Suatu program
(prosedur) komputasi akan mempunyai
suatu jalur ulang (loop) siklus selanjutnya. Umpan balik erat kaitannya dengan stabilitas jalur ulang umpan
balik, suatu galat mungkin membesar atau
mereda setelah iterasi berkali-kali (Djojodiharjo,2000:2).
Metode numerik sudah lama berkembang, tetapi
penerapan dalam pemecahan masalah belum
meluas dalam berbagai bidang. Itu dikarenakan pada masa tersebut alat bantu hitungan berupa komputer
belum banyak digunakan.
Beberapa tahun terakhir ini perkembangan
mengenai komputer sangat pesat sehingga
metode numerik sering diselesaikan dengan komputer, selain itu juga dengan berkebangnya komputer sebagai alat
sebagai alat yang sangat ampuh untuk
menyelesaikan permasalahan dalam berbagai bidang. Metode numerik mampu menyelesaikan suatu persamaan yang
besar, tidak linier dan sangat komplek
yang tidak mampu diselesaikan dengan analitik (Bambang Triatmodjo,1996:1).
Kemajuan yang sangat luar biasa dalam bidang
komputasi sangat mempengaruhi
perkembangan metode numerik. Dengan perkembangan komputasi yang cepat dan efisien, peranan metodenumerik
dalam menyelesaikan masalah masalah
sangan meningkat secara dramatis (Susilo,1993:3). Dalam komputasi tidak lepas dengan ketrampilan pemrogaman
yang sangat menunjang dalam menyelesaikan
metode numerik. Dalam menyelesaikan metode numerik sangat terlihat ketika diaplikasikan dengan beberapa
contoh soal.
Susilo (1993:2) menyatakan bahwa selesaian suatu
masalah matematika secara umum dapat
diklasifikasikan menjadi dua, yaitu secara analitik, misalnya suatu fungsi fmempunyai selesaian maka
selesaian yang dimasukkannya akan memenuhi
fungsi semula. Yang kedua adalah secara numerik misalnya suatu fungsi f mempunyai selesaian, maka selesaian
yang dihasilkan merupakan nilai hampiran
dari nilai sebenarnya.
Selain itu metode Numerik adalahsalah satu
mata kuliah yang ada dijurusan
matematika. Mata kuliah ini tidak lepas dengan namanya komputer dalam hal perhitungan- perhitungan Numeriknya.
Karena kalau dengan manual sering
mengalami kesulitan dalam perhitungan dalam mendapatkan hasil yang sebenarnya.
Ada beberapa metode numerik yang dapat
digunakan untuk mencari akar-akar persamaan,
antara lain Metode Bisection(bagi dua/setengah interval), Metode Inrerpolasi Linear(regulasi falsi), Metode
Newton-Raphson, Metode Secant; dan Metode
Iterasi. Metode biseksiadalah metode yang berawal dari metode table yang areanya dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode ini membagi range menjadi 2 bagian. Untuk menggunakan
metodebiseksi terlebih dahulu ditentukan batas bahwah dan batas atas, kemudian dihitung
nilai tengah. Dari nilai tengah perlu
dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematis didalam suatu range terdapat akar persamaan bila diantara
nilai fungsi batas bawah dan atas berlawanan
tanda. Metode interpoasi linieratau regula falsiadalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan
kemiringan dan selisih tinggi dari dua
titik batas range. Seperti halnya metode biseksi, metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range,
dengan kata lain titik pendekatan x adalah
nilai rata-rata range berdasarkan fungsinya. Metode Newton-Raphson adalah
metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradient pada
titik tersebut. Metode secant adalah merupakan metode perbaikan metode regula
falsi dan Newton Raphson dimana
kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. Dalam
metode ini menggunakan dua titik pendekatan.
Kedua titik tersebut diambil pada titik-titik yang dekat agar konvergensinya dapat dijamin. Metode
Iterasiadalah metode yang memisahkan x dengan
sebagian x yang lain sehingga diperoleh x = g(x).
Dari kelima metode diatas dapat dibedakan
menjadi dua metode yaitu metode
pengurung dan terbuka. Metode Bisectiondan Interpolasi linier(Regula falsi) adalah metode pengurang yang
menggunakan lebar selang yang akarnya diantara
selang tersebut. Sedangkan metode
Newton-Raphsondan Secant termasuk
metode terbuka. Chapra (1989:130) menyatakan bahwa jika metode terbuka ini konvergen maka kekonvergenannya
akan lebih cepat jika dibandingkan
dengan metode pengurang.
Metode pencarian akar persamaanmerupakan
metode yang sangat dibutuhkan dalam
mencari akar-akar suatu persamaan, yang memang seringkali tidak dapat dicari secara analitik. Solusi
analitik hanya dapat diperuntukkan untuk persamaan polinomial berderajat satau
ataudua. Untuk derajat lebih dari dua perlu difaktorisasikan sehingga berbentuk polinomial
berderajat satu dan/ dua. Namun, sering
kali persamaan polinomial derajat lebih dari dua tidak mempunyai factor polinomial derajat dua dan/atau satu sehingga
tidak dapat diselesaikan secara analitik.
Selain akar-akar persamaan polinomial berderajat yang lebih dari dua, akar-akar persamaan Transenden diantaranya
persamaan eksponensial, persamaan logaritmik
dan persamaan trigonometri yang juga merupakan permasalahan Keilmuan/ Sains yang sulit atau bahkan tidak
dapat diselesaikan secara analitik.
Dari sinilah penulis mengangkat permasalahan
tentang pencarian aproksimasi pada
persamaan Eksponensial, Logaritma, dan
Trigonometri.
Sedangkan dalam membantu mencari aproksimasi
akar-akar persamaan Eksponensial,
Logaritma, dan Trigonometri penulis mamakai program MATLAB karena bahasa pemogramannya lebih mudah dan
salah satu program yang sesuai untuk
menganalisis numerik. Maka dalam penulisan skripsi ini mengambil judul dengan “ Menentukan Prosedur Selesaian
Persamaan Eksponensial, Logaritma, dan
Trigonometri dengan Metode Newton-Raphson dan Metode Secant berbantuan Program Matlab”.
I.2. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatasdapat diambil
rumusan masalah sebagai berikut: 1.
Bagaimana prosedur dan selesaian persamaan Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri dengan menggunakan metode
Newton-Raphson berbantuan programMatlab?
2. Bagaimana prosedur dan selesaian
persamaan Eksponensial, Logaritma, dan
Trigonometri dengan menggunakan metode Secant berbantuan programMatlab? I.3. Batasan Masalah Berdasarkanrumusan masalah diataspenulis
membatasi masalah sebagai betriku: 1. Persamaan Eksponensial dua variabel dengan
xvariabel bebas dan y variabel terikat dengan rumus umum dimana a, c,dan k adalah konstanta (jean E.
Weber,1992:123). Persamaan logaritma dua variabel yaituxvariabel bebas dan
yvariabel terikat dengan rumus umum c ae
y kx + = B x A y + + = ) 1 ( ln dimana A dan Badalah konstanta (jean E.
Contoh Skripsi Matematika:Menentukan Prosedur Selesaian Persamaan Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri Dengan Metode Newton-Raphson dan Metode Secant Berbantuan Program MatlabDownloads Versi PDF >>>>>>>Klik Disini
0 komentar:
Posting Komentar