BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Kata matematika secara bahasa (lughawi)
berasal dari bahasa Yunani yaitu ”mathema” yang
artinya hal-hal yang
dipelajari. Nasoetion (1980:12) menyatakan
bahwa matematika berasal
dari bahasa Yunani
“mathein” atau “manthenein”
yang artinya mempelajari.
Namun secara istilah
sampai saat ini belum ada
definisi yang tepat
mengenai matematika (Abdusysyakir, 2007:
5).
Matematika adalah
studi tentang kuantitas,
struktur, ruang dan
perubahan.
Matematika dikembangkan
melalui penggunaan abstraksi
dan penalaran logis mulai
dari perhitungan, pengukuran dan studi bentukserta gerak obyek fisis.
Matematika yang
merupakan studi tentang
ruang dan perubahan memunculkan suatu definisi yang banyak muncul
sebagai persamaan yang sangat penting
dalam matematika terapan. Pentingnya itu karena terdapat permasalahan mengenai
kuantitas bahwa perubahan
terus menerus terhadap
waktu dan ruang yang biasanya
dapat digambarkan secara
matematik dengan suatu
persamaan diferensial.
Persamaan diferensial
adalah persamaan yang
memuat turunan pertama (atau
lebih) fungsi yang
tidak diketahui. Banyak
masalah dalam sains
dan teknologi dapat
dirumuskan dalam persamaan
diferensial, baik dalam
bentuk persamaan diferensial
biasa maupun parsial,
baik linier maupun
non linier dan berupa orde
satu, orde dua
ataupun orde ke-n.
Persamaan diferensial juga seringkali muncul
dalam model matematik
yang mencoba menggambarkan keadaan
kehidupan nyata. Banyak
hukum-hukum alam dan
hipotesis-hipotesis dapat diterjemahkan
ke dalam persamaan
yang mengandung turunan
melalui bahasa matematik.
Misalkan tentang turunan
dalam fisika yang
muncul sebagai kecepatan dan percepatan, yaitu berasal dari
fungsijarak yang diturunkan menjadi persamaan kecepatan
yang bergantung pada
waktu dan apabila
persamaan kecepatan diturunkan
maka akan mengalami laju
perubahan kecepatan terhadap waktu,
yang dinamakan percepatan.
Proses dari jarak menjadi
percepatan ini menunjukkan adanya proses atau
tingkat-tingkat dalam kehidupan,
sebagaimana Firman Allah Surat
Al-Insyiqâq/84 ayat 19: ¨ ã x .÷ Žt Is 9 $¸ )t 7s
Û t ã
9 ,t 7s Û ∩⊇∪
”Sesungguhnya kamu melalui
tingkat demi tingkat
dalam kehidupan”.(Qs. AlInsyiqâq/ 84: 19) Seperti
yang disampaikan di
atas bahwa kebanyakan
permasalahan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi dapat
direpresentasikan dalam bentuk persamaan diferensial
baik persamaan diferensial
biasa maupun parsial, maka
dalam penelitian ini
akan dibahas tentang
persamaan diferensial parsial.
Persamaan tersebut merupakan laju
perubahan terhadap dua ataulebih variabel bebas, yang dikatakan dengan waktu dan jarak (ruang)
(Triatmojo, 2002:198). Berbagai soal dalam ilmu pengetahuan
dan bidang perekayasaan,
bila dirumuskan secara matematis,
akan sampai ke
persamaan-persamaan diferensial yang
melibatkan satu atau lebih fungsi
yang tak diketahui bersama-sama dengan
kondisi tertentu yang sudah
ditentukan mengenai fungsi
yang muncul dari
situasi fisis kondisi tersebut
dinamakan syarat batas
(Boundary Conditions) dan
masalah untuk mencari pemecahan persamaan yang memenuhi
syarat batas tersebut dinamakan masalah
nilai batas (Boundary Value Problem) (Spiegel, 1999:219).
Dari segi
penerapan, khususnya pada
masalah fisika matematis,
ada kelompok masalah
nilai batas dalam
persamaan diferensial parsial
yang sangat penting,
karena di dalamnya
terdapat suatu persamaan diferensial
yang mengandung nilai riil
beserta syarat-syarat batasnya, yang disebut dengan masalah nilai
eigen. Masalah nilai
eigen sering muncul
dalam fisika matematis
dalam proses penyelesaian
dengan metode pemisahan
peubah dari masalah
nilai awal yang meliputi salah satu dari persamaan
diferensialparsial linier orde dua yaitu persamaan parabola, persamaan elips dan
persamaan hiperbola. Dari masalah nilai eigen akan
diperoleh nilai eigen
dan fungsi eigen
yang akan mempermudah menentukan solusi persamaan diferensial
parsial.
Pernyataan-pernyataan di
atas menunjukkan tentang
matematika terapan, yaitu
penerapan bagian dari
matematika untuk menyelesaikan
bagian yang lainnya.
Sebagaimana juga dijelaskan oleh
Allah dalam firmanNya
surat AlFurqân/25 ayat 2, yaitu: t ,n =y zu ρ.............. ¨ ≅à 2 & ó x « …ç νu ‘£ ‰s )s ù #\ ƒÏ ‰ø )s ? ∩⊄∪
”................dan Dia telah
menciptakan segala sesuatu,
dan Dia menetapkan ukuran-ukurannya dengaen serapi-rapinya”.(QS
Al-Furqân : 2) Segala sesuatu
yang diciptakan Allah
diberi-Nya
perlengkapanperlengkapan dan persiapan-persiapan, sesuai
dengan naluri, sifat-sifat dan fungsinya
masing-masing dalam hidup, karena setiap
ciptaan Allah itu selalu ada tujuan dan
manfaatnya secara esensial.
Demikian juga dalam
ilmu matematika, dalam penelitian ini pada materi nilai eigen
yang diaplikasikan untuk menentukan solusi
persamaan diferensial parsial.
Mencari suatu
manfaat dari ilmu
tertentu merupakan bagian
dari mencari ilmu.
Islam mendorong manusia
untuk mencari ilmu
dan kemajuan dalam penemuan-penemuan,
dan menjanjikan ganjaran yang besar, dan upaya-upaya ini dianggap bagian dari pengabdian kepada Allah.
Ayat-ayat yang terfokus pada isuisu
ilmiah atau yang
menunjukkan masalah-masalah ilmiah
merupakan contoh praktis
dari dorongan ini,
melalui motivasi ke
arah renungan dan penyelidikan guna
memahami arti dari ayat-ayat tersebut.
Oleh karena itu
pernyataan ini memberikan
dasar bagi penelitian
dan kemajuan ilmiah
(Baidawi dan Ahmad, 1997:72).
Dengan latar belakang
tersebut maka penulis
terdorong untuk mengembangkan
ilmu matematika dengan
melakukan penelitian dalam
bentuk skripsi dengan
judul “Aplikasi Nilai
Eigen untuk Menentukan
Solusi Persamaan Diferensial
Parsial”.
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan
latar belakang di
atas, maka penulis
merumuskan bagaimana aplikasi nilai eigen untuk menentukan solusi
persamaan diferensial parsial?.
1.3 Batasan Masalah Dalam
pembahasan ini penulis
membatasi ruang lingkup
permasalahan penelitian ini
adalah persamaan diferensial parsial linier orde dua dengan bentuk persamaan
parabola atau dalam
fisika matematika biasa
dikenal dengan persamaan kalor1.4 Tujuan Penelitian Tujuan
penelitian ini adalah
untuk mengetahui aplikasi
nilai eigen dalam menentukan
solusi persamaan diferensial parsial.
1.5 Manfaat Penelitian Bagi
peneliti tulisan ini
bermanfaat untuk menambah informasi dan wawasan
tentang langkah-langkah untuk mengetahui solusi persamaan diferensial parsial melalui nilai eigen. Bagi pemerhati
matematika penelitian ini bermanfaat untuk
tambahan pengetahuan tentang matematika dalamhal persamaan diferensial parsial.
1.6 Metode Penelitian Metode
yang digunakan dalam
penelitian ini adalah
metode penelitian perpustakaan (library reseach),
yaitu dengan mengumpulkan data
dan informasi dengan
bantuan bermacam-macam material
yang terdapat di
ruangan perpustakaan, seperti
buku-buku, majalah, dokumen, catatan,
kisah-kisah sejarah dan lain-lainnya
(Mardalis, 1989:28). Adapun
buku-buku yang di
gunakan sebagai reverensi
adalah buku-buku matematika
seperti Fundamental of Diferential
Equation, Persamaan Diferensial, Boundary Value Problem and Partial Diferential Equation dan referensi lain yang
relevan dengan pembahasan.
Adapun langkah-langkah penulisan
yang dilakukan adalah sebagai berikut: 1. Merumuskan
masalah. Sebelum penulis
memulai kegiatan, penulis
membuat rancangan mengenai suatu
permasalahan yang akan dibahas.
2. Mengumpulkan
data. Dengan menggunakan
metode kepustakaan, penulis mengumpulkan bahan atau sumber dan informasi
dengancara membaca dan memahami
literatur yang berkaitan dengan persamaan
diferensial parsial dan nilai
eigen.
3. Menyelesaikan
bentuk umum. Disini,
penulis menyelesaikan bentuk
umum dengan cara mengaitkan
materi yang dikaji.
4. Menyelesaikan
contoh. Disini, penulis
menyelesaikan contoh dengan cara mengaitkan
materi yang dikaji.
5. Membuat
kesimpulan. Kesimpulan merupakan
gambaran langkah-langkah dari
pembahasan yang telah
ditulis. Kesimpulan didasarkan
pada data yang telah dikumpulkan
dan merupakan jawaban
dari permasalahan yang dikemukakan.
6. Membuat laporan.
1.7 Sistematika Penulisan Skripsi
ini menggunakan sistematika
penulisan dan pembahasan
sebagai berikut: BAB I : PENDAHULUAN Pada bab ini terdiri dari latar belakang,
rumusan masalah, batasan masalah, tujuan
penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan.
BAB II : TINJAUAN PUSTAKA Pada
bab ini difokuskan
pada masalah, yaitu
berisi tentang diferensial, persamaan diferensial, persamaan diferensial
parsial, persamaan diferensial linier homogen,
masalah nilai batas, nilai eigen dan fungsi eigen, deret Fouirier.
BAB III : PEMBAHASAN Pada
bab ini berisi
tentang penerapan nilai
eigen dengan langkah-langkah umum
penentuan solusi persamaan
diferensial parsial linier
orde dua bentuk parabolik.
Dan dengan menggunakan
nilai eigen dengan
menggunakan satu contoh.
Contoh Skripsi Matematika:Aplikasi Nilai Eigen untuk Menentukan Solusi Persamaan Diferensial ParsialDownloads Versi PDF >>>>>>>Klik Disini
0 komentar:
Posting Komentar