BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Berkembangnya berbagai
ilmu pengetahuan telah
banyak memberikan sumbangan
pemikiran untuk dapat
menyelesaikan berbagai permasalahan
yang muncul. Dalam
perkembangan dan kemajuan
ilmu pengetahuan dan
teknologi, ilmu matematika
terapan memberikan sumbangan
yang besar dalam
pemecahan masalah. Kemajuan
teknologi yang sangat
mengagumkan dewasa ini tidak mungkin dapat
terjadi tanpa bantuan
matematika. Matematika mempunyai peranan yang utama yaitu matematika memberikan
caraberfikir yang jelas, logis, tepat,
dan konsisten sebagai sarana pengembangan pengetahuan.
Salah satu
cabang dari matematika
yang termasuk topik
penting untuk dibahas
adalah persamaan diferensial.
Topik ini digunakan
untuk memecahkan masalah-masalah yang
dihadapi dalam bidang
sains dan teknik.
Persamaan diferensial membantu
memecahkan masalah-masalah dalam
bidang tersebut.
Dalam sains dan teknik sering
ditemukan masalah-masalah yang penyelesaiannya tidak
dapat diatasi dengan
hanya menggunakan rumus
atau konsep yang
ada.
Terdapat banyak fenomena-fenomena
yang melahirkan model matematika, namun model matematikanya
mengandung laju perubahan.
Dalam situasi seperti
ini dibutuhkan penyelesaian
atau perhitungan matematika secara khusus.
Perhitungan-perhitungan matematis
untuk memecahkan masalah-masalah tersebut memerlukan persamaan diferensial (Kusumah,
1989:1) Persamaan diferensial
adalah sebuah persamaan
yang mengandung derivatif/diferensial dari suatu atau lebih
variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel
bebas (Baiduri, 2002:2).
Persamaan diferensial yang
terbentuk dari permasalahan
yang ada tersebut
juga bermacam-macam. Ada dua
macam persamaan diferensial yaitu
persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.
Berdasarkan bentuknya, terdapat
persamaan diferensial homogen
dan persamaan diferensial tak
homogen. Di samping itu, berdasarkan
orde (tingkat)-nya, terdapat persamaan
diferensial orde satu,
persamaan diferensial orde
dua, persamaan diferensial
orde tiga, sampai
dengan persamaan diferensial
orde-n (orde tinggi). Sedangkan berdasarkan koefisiennya, terdapat
persamaan diferensial dengan koefisien
konstanta dan persamaan diferensial dengan koefisien variabel (peubah). Serta berdasarkan kelinearannya,
terdapatpersamaan diferensial linear dan
persamaan diferensial tidak linear.
Oleh karena
banyaknya jenis persamaan
diferensial, maka banyak
pula cara mencari
penyelesaiannya.
Penyelesaian persamaan diferensial
adalah suatu fungsi
yang memenuhi persamaan
diferensial dan juga memenuhi
kondisi awal yang diberikan pada persamaan tersebut (Aziz,
2006:51). Di dalam penyelesaian persamaan diferensial
secara analitis, biasanya
dicari penyelesaian umum
yang mengandung konstanta
sebarang dan kemudian mengevaluasi konstanta tersebut sedemikian sehingga hasilnya sesuai dengan
kondisi awal. Atau dengan kata lain solusi analitik merupakan solusi kontinyu
sehingga solusi dari nilai variabel bebas dapat
ditemukan, sangat akurat
dan tepat (Lam,
1994:20). Metode penyelesaian persamaan diferensial secara analitis terbatas
padapersamaan-persamaan dengan bentuk
tertentu, dan biasanya hanya untuk menyelesaian persamaan linear dengan koefisien konstan.
Metode penyelesaian
numerik tidak ada
batasan mengenai bentuk persamaan
diferensial. Penyelesaian yang
diperoleh berupa iterasi
numerik dari fungsi
untuk berbagai variabel
bebas. Penyelesaian suatu
persamaan diferensial dilakukan
pada titik-titik yang
ditentukan secara berurutan.
Untuk mendapatkan hasil
yang lebih teliti
maka jarak (interval)
antara titik-titik yang
berurutan tersebut dibuat
semakin kecil. Atau
dengan kata lain
solusi analitik adalah selesaian
yang memenuhi persamaan
semula secara eksak
sedangkan numerik adalah selesaian yang berupa hampiran (Susila,
1993:2).
2. Solusi analitik dengan menggunakan metode
variasi parameter.
3. Solusi numerik dengan menggunakan metode
Runge-Kutta orde-4.
1.4 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan
masalah diatas, maka
tujuan penulisan skripsi
ini adalah 1.
Mendeskripsikan solusi analitik persamaan Cauchy-Euler.
2. Mendeskripsikan solusi numerik persamaan
Cauchy-Euler.
3. Mendeskripsikan perbandingan hasil
penyelesaian dari solusi analitik dan solusi
numerik persamaan Cauchy-Euler.
1.5 Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini
adalah: 1. Bagi
penulis, sebagai tambahan
informasi dan wawasan
mengenai bagaimana menentukan
solusi analitik dan
solusi numerik persamaan Cauchy-Euler.
2. Bagi
pemerhati matematika, sebagai
masukan dan sumbangan
pemikiran untuk memecahkan
permasalahan dalam menentukan
penyelesaian persamaan diferensial
linear tak homogen
dengan koefisien variabel menggunakan metode yang lebih efisien.
3. Bagi
lembaga UIN Malang,
untuk bahan kepustakaan
yang dijadikan sarana
pengembangan wawasan keilmuan
khususnya di bidang matematika.
1.6 Metode Penelitian Metode
merupakan cara utama
yang akan ditempuh
untuk menemukan jawaban
dari suatu permasalahan.
Metode penelitian yang
digunakan dalam skripsi ini adalah studi literatur. Studi
literaturadalah penelitian yang dilakukan dengan
bantuan bermacam-macam material
yang terdapat di
ruangan perpustakaan seperti
buku, majalah, dokumen,
catatan kisah-kisah, sejarah
dan sebagainya (Mardalis, 2003:
28).
0 komentar:
Posting Komentar