BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Karena semakin hari semakin
canggihnya IPTEK yang ada, maka hampir semua masalah tersebut dapat diselesaikan. Salah
satu disiplin yang dari zaman dahulu sampai
sekarang yang masih unggul digunakan dikalangan berbagai disiplin ilmu lainnya adalah matematika. Matematika
merupakan salah satu disiplin ilmu yang sangat
dibutuhkan untuk disiplin ilmu lainnya, apalagi keberadaannya dilengkapi dengan teknologi yang semakin canggih, yaitu
komputer.
Matematika yang merupakan salah
satualat dalam menyelesaikan suatu fenomena,
biasanya berupa perumusan. Artinya suatu fenomena dapat diselesaikan apabila sudah dirumuskanke dalam
bahasa matematika. Pada umumnya
persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti
bidang fisika, kima, ekonomi, atau pada
persoalan rekayasa (engineering)seperti teknik sipil,teknik mesin, teknik elektro, dan sebagainya. Seringkali model
matematika yang rumit ini ada kalanya tidak
dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (solusi eksak).
Metode analitik adalah metode penyelesaian
model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim) (Munir, 2003: 1). Jika metode analitik
saja masih sulit atau tidak cukup untuk
menghasilkan solusi yang maksimal, maka salah satu cabang disiplin ilmu matematika yaitu metode numerik dapat
digunakan.
Metode numerik adalah teknik untuk
menyelesaikan permasalahanpermasalahan yang diformulasikan secara matematis
dengan cara operasi hitungan/aritmetika
biasa (tambah, kurang, bagi, dan kali). Berbagai permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan dan teknologi
dapat digambarkan dalam bentuk persamaan
matematika. Apabila persamaan tersebut mempunyai bentuk sederhana, penyelesaiannya dapat dilakukan
secara analitis. Tetapi pada umumnya bentuk
persamaan sulit diselesaikan secara analitis, sehingga penyelesaiannya dilakukan secara numerik. Hasil dari
penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan
atau pendekatan dari penyelesaian analitik atau eksak. Karena merupakan nilai pendekatan, maka
terdapatkesalahan terhadap nilai eksak. Nilai kesalahan tersebut harus cukup kecil terhadap
tingkat kesalahan yang ditetapkan.
Dalam metode numerik terdapat
beberapa bentuk proseshitungan atau algoritma
untuk menyelesaikan suatu tipe persamaan
matematis. Hitungan numerik dapat
dilakukan menggunakan salah satu dari proses penghitungan yang paling efisien yang memerlukan waktu paling
cepat. Proses penghitungan dilakukan
dengan iterasi dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-ulang.
Oleh karena itu diperlukan
bantuan komputer untuk melaksanakan operasi hitungan tersebut. Tanpa bantuan komputer
metode numerik tidak banyak memberi
manfaat (Triadmodjo, 2002: 1) Salah satu
penerapan metode numerik dalam perhitungan aritmetika adalah mencari akar-akar polinomial. Hingga
sejauh ini polinomial yang sangat banyak
ditemukan dan mudah diselesaikan atau ditemukan akar-akarnya adalah polinomial berderajat dua.
fungsi polinomial berderajat dua 0 )( =++=
cbxaxxf (1.1) biasanya juga disebut sebagai persamaan
kuadratik. Persamaan kuadratik ini dapat dicari selesaiannya dengan beberapa cara,
diantaranya dengan cara memfaktorkan, melengkapkan
kuadrat sempurna, dan dengan rumus kuadratik yakni: a acbb x
−±−= (1.2) Adapun untuk polinomial berderajat tiga,
empat, dan berderajat lebih tinggi
seperti pada bentuk n n xaxaxaaxp ++++=
... )( 210 (1.3)
dengan ai adalah konstanta riil, i = 0, 1, 2, .... n, dan an ≠0.
memiliki n akar, baik akar nyata maupun
akar kompleks (Munir, 2006:105). Sampai saat ini masih banyak ditemukan kesulitan-kesulitan dalam
pencarian akar-akarnya secara analitik,
juga tidak tersedia metodealjabar untuk mendapatkan solusinya, sehingga dibutuhkan suatu metode (cara)aproksimasi
(pendekatan) (Wahyudin, 1986: 2.1) Beberapa metode numerik yang dapat digunakan
untuk menemukan atau mencari akar-akar
polinomial antara lain metode Newton Raphson, metode Regula falsi, metode bagi dua, metode secant,
metode Müller, metode Bairstow, dan lain
sebagainya.
Metode Müller adalah suatu
algoritma untuk menentukan akar atau suatu metode numerik untuk menyelesaikan persamaan
f(x) = 0. Metode ini dipresentasikan
pertama kali oleh D. E. Müller in 1956. Metode Muller didasarkan pada metode secant, yang
mengkonstruksi grafik dari suatu garis lurus yang dalam iterasinya hanya membutuhkan dua
nilai tebakan awal dari fungsi f(x).
Sedangkan untuk metode Müller
menggunakan tiga titik untuk mengkonstruksi grafik berbentuk parabola yang melalui ketiga
titik tersebut dan terdapat titik potong/
berpotongan dengan sumbu x.
(http://en.wikipedia.org/wiki/Müller's_method)
Adapun metode Bairstow merupakan salah
satu metode untuk mencari akar-akar yang
nyata maupun kompleks darisuatu polinomial. Metode Bairstow adalah suatu algoritma yang efisien untuk
menemukan akar-akar dari suatu polinomial
dengan konstanta real. Algoritma ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1920 oleh Leonard Bairstow dalam bukunya
"Applied Aerodynamics”.
Algoritma ini dapat menemukan
akar-akar komplek dengan hanya menggunakan penghitungan real.
Dalam metode Bairstow juga
dibutuhkan nilai tebakan awal. Algoritma metode Bairstow dalam mencari akar-akar
polinomial dibutuhkan untuk menghasilkan
koefisien u dan v dalam persamaan
kuadrat x 2 + uv + v yang merupakan akar-akarnya yang juga merupakan
akar-akar dari polinomial yang akan
dihasilkan. Kemudian persamaan polinomial yang pertama dibagi dengan akar-akar dari persamaan kuadrat yang telah
dihasilkan tadi untuk mendapatkan akar-akar
yang lainnya. Proses ini kemudian diiterasikan hingga didapatkan polinomial kuadratik atau linear.
(http://en.wikipedia.org/wiki/Bairstow%27s_method)
Dari beberapa metode tersebut pada
dasarnya mempunyai tujuan yang sama,
yaitu menentukan akar-akar polinomial dengan galat yang paling kecil.
Semua persoalan tersebut dapat
diketahui dengan jelas,apabila sudah dibuktikan atau diterapkan dalam suatu contoh dan
nantinya juga dibutuhkan pemikiran yang lebih
mendalam lagi dalam penganalisisannya.
Berdasarkan latar belakang
di atas, maka penulis mengangkat permasalahan tentang “Aplikasi metode Müller
dan metode Bairstow dengan bantuan
Matlab dalam menentukan akar-akar polinomial”.
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan
latar belakang di atas, maka rumusan masalah yang akan digunakan antara lain: 1.
Bagaimana aplikasi metode Müller dengan bantuan Matlab dalam menentukan akar-akar polinomial? 2.
Bagaimana aplikasi metode Bairstowdengan bantuan Matlab dalam menentukan akar-akar polinomial? 3.
Bagaimana analisis hasil penemuan akar-akar polinomial dengan metode Müller dan metode Bairstowdengan bantuan
Matlab? 1.3 Batasan Masalah Agar pembahasan yang akan dikaji dalam skripsi
ini tidak melebar, maka diberikan
batasan masalah, antara lain: 1. Pada proses penghitungan digunakan program
matlab 5.3 dengan batas masukan
toleransi nilai maksimum fungsi adalah 0.0001.
2. Dalam pembahasan ini, hanya dikhususkan pada
persamaan aljabar.
1.4 Tujuan Penelitian Berdasarkan
rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan skripsi ini adalah: 1.
Mengetahui aplikasi metode Müller dengan bantuan Matlab dalam menentukan akar-akar polinomial.
2. Mengetahui aplikasi metode Bairstowdengan
bantuan Matlab dalam menentukan
akar-akar polinomial.
3. Mengetahui analisis hasil penemuan akar-akar
polinomial dengan metode Müller dan
metode Bairstow dengan bantuan Matlab.
1.5 Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini
adalah: 1. Bagi peneliti, sebagai tambahan informasi dan
wawasan pengetahuan mengenai cara
menentukan akar-akar polinomial menggunakan metode Müller dan metode Bairstow dengan bantuan Matlab.
2. Bagi pemerhati matematika, sebagai tambahan
pengetahuan bidang matematika, khususnya
metode numerik mengenai cara menentukan akar-akar polinomial menggunakan metode Müller dan
metode Bairstow dengan bantuan Matlab.
3. Bagi
lembaga UIN Malang, untuk bahan kepustakaan yang dijadikan sarana pengembangan wawasan keilmuan khususnya di
jurusan matematika untuk mata kuliah
metode numerik.
1.6 Metode Penelitian 1.6.1
Pendekatan dan Jenis Penelitian Jenis
penelitian ini adalahdeskriptif kuantitatif, yaitu pencarian fakta dengan interpretasi tepat untuk membuat
gambaran atau lukisan secara sistematis, faktual, dan akurat mengenai fakta-fakta,
sifat-sifat, serta hubungan antar fenomena
yang diselidiki. Dengan demikian, pendekatan yang digunakan adalah pendekatan kualitatif dengan metode
kepustakaan.
1.6.2 Bahan Kajian Data yang diperlukan dalam penyusunan skripsi
ini adalah data mengenai persamaan
polinomial berderajat tingkat tinggi, akar-akar polinomial, galat, metode Müller dan metode Bairstow serta
data-data tambahan yang mendukung penelitian
ini. Sumber data dalam skripsi ini yaitu buku-buku metode numerik, khususnya yang penulis jadikan acuanadalah
Chapra, Steven C. 2002. Numerical Methods
For Engineers With Software Programming Application, Fourth Edition.
Amerika: MC. Grawhill Companies,
Inc. dan Conte, Samuel d. 1993. Dasardasar Analisis Numerik Suatu Pendekatan
Algoritma, Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga.
Adapun buku penunjang lainnyaadalah Munir, Rinaldi. 2006. Metode Numerik. Bandung: Informatika, dan lain-lain Sebagai teori pendukung untuk kajian
keagamaannya, penulis menggunakan buku
rujukan Abdussakir. 2006. Ada Matematika dalam Al-Qur’an.
Malang: UIN-Malang Press, dan
Abdussakir. 2006. Ketika Kyai Mengajar AlQur’an. Malang: UIN-Malang Press.dan
Depag RI. 1996. Al-Qur’an dan Terjemahnya.
Semarang: Toha Putra.
0 komentar:
Posting Komentar