BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Dalamkehidupan sehari-hari, banyak
permasalahan dari fenomena riil yang
dapat dijelaskan melalui pembentukan model matematika. Pada umumnya perumusan
model matematika ini berupafungsi. Dalambanyak kasus, tidak semua model matematika tersebut dapat
diselesaikan secara mudah dengan menggunakan
metode analitik, sehinggadigunakan metode numerik untuk mencari penyelesaiannya. Metode numerik adalah
teknik yang digunakan untuk memformulasikan
persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmetik biasa
(tambah, kurang, kali, dan bagi) (Munir, 2003: 5).
Pada umumnya metode numerik
tidakmengutamakan diperolehnya jawab yang
eksak (tepat), tetapi mengusahakanperumusan metode yang menghasilkan jawab pendekatan yang berbeda dari jawab yang
eksak sebesar suatu nilai yang merupakan
galat dari metode yang digunakan. Namun demikian, hasil perhitungan dengan metode numerik cukup dapat memberikan
solusi pada persoalan yang dihadapi.
Salah satu penerapan dari metode
numerik ini yaitu dalam masalah nilai eigen
dan vektor eigen. Metode numerik memberikan suatu cara alternatif yang digunakan untuk menemukan nilai eigen dan
vektor eigen dari suatu matriks. Cara yang
digunakan dalam metode numerik ini termasuk unik karena dalam 1 penyelesaiannya
hanya diperlukan operasi-operasi aljabar biasa. Hanya saja, dalampenghitungannya tidak cukup dilakukan
sekali tetapi harus dilakukan berulang-ulang
sampai ditemukan nilai yang konvergen ke satu nilai yang merupakan nilai penyelesaiannya.
Salah satu metode dalamanalisis
numerik yang bisa digunakan untuk mencari
nilai eigen dan vektor eigen yaitu metode pangkat. Dengan metode pangkat ini, nilai eigen yang berupa bilangan
real dan vektor eigennya dapat ditemukan
secara bersamaan menggunakan proses yang samapula sehingga jika nilai eigen dari suatumatriksditemukan, maka
secara otomatis vektor eigen dari matriks
yang bersangkutan akan diperoleh.
Dalammencari nilai eigen dan
vektor eigen menggunakan metode pangkat,
akan memerlukan proses iterasi yang sangat panjang untuk menemukan hasil yang mendekati nilai yang sebenarnya.
Semakin banyak iterasi yang dilakukan,
maka semakin baik hasil yang diperoleh.
Meskipun metode pangkat bisa
digunakan untuk mengaproksimasi nilai eigen
dan vektor eigen darimatriks, akan sulit untuk mengaproksimasi nilai eigen keseluruhan dari matriks tersebut. Olehsebab
itu, diperlukan metode deflasi berturut-turut
untuk menemukannya.
Dalamskripsi ini, jika metode
determinan sangat sulit digunakan untuk matriks
berordo di atas 3 × 3, makametode pangkat yang digabungkan dengan metode deflasi dapat digunakan dengan mudah
untuk mencari nilai eigen dan vektor
eigen pada matriks berordo diatas 3 × 3. Dengan demikian, metode pangkat dan metode deflasi merupakan salah
satu metode yang dapat mempermudah
dalammencari nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks.
Aplikasi nilai eigen mencakup
berbagai bidang keilmuan. Nilai eigen diperlukan
untuk memecahkan berbagai permasalahan dalam kehidupan seharihari, diantaranya
dalam hal struktur melengkungnya batang, campuran, gerak harmonik, getaran suatu bangunan, dan lain
sebagainya. Sehingga bisa dikatakan metode
dalammenemukan nilai eigen merupakan ilmupengetahuan yang digunakan untuk membantu mempermudah kehidupan
manusia sehari-hari.
Berdasarkan latar belakang di
atas, penulis mengangkat permasalahan tentang “Aplikasi metode pangkat dan metodedeflasi
dalam mengaproksimasi nilai eigen dan
vektor eigen dari matriks”.
B.
Rumusan Masalah Dalampembahasan
ini, rumusan masalah yang digunakan adalah : 1.
Bagaimana aplikasi metode pangkat dalammengaproksimasi nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks 2.
Bagaimana aplikasi metode deflasi dalammengaproksimasi nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks C. Batasan Masalah Permasalahan yang dibahas dalamskripsi ini
dibatasi pada : 1. Metode digunakan hanya pada matriks yang
semua nilai eigennya adalah bilanganreal.
Matriks yang sesuai dalamhal ini yaitumatriks simetri yang elemennya tidak ada yang memuat bilangan
kompleks 2. Dalammencari nilai eigen dan vektor eigen,
digunakan bantuan program Matlab karena
proses penghitungan secara manual terlalu panjang 3.
Metode pangkat dalam skripsi ini meliputi metode pangkat langsung, metode pangkat invers, metode pangkat yang
diubah, dan metode pangkat invers yang
diubah D. Tujuan Penelitian Adapun penulisan skripsi ini bertujuan untuk :
1.
Menjelaskan langkah-langkah mengaproksimasi nilai eigen dan vektor eigen
pada matriks dengan menggunakan metode pangkat 2.
Menjelaskan langkah-langkah mengaproksimasi nilai eigen dan vektor eigen
pada matriks dengan menggunakan metode deflasi E.
Manfaat Penelitian Manfaat
penulisan skripsi ini antara lain : 1. Bagi peneliti, sebagai tambahan informasi dan wawasan mengenai bagaimana mengaproksimasi nilai eigen dan
vektor eigen menggunakan metode pangkat
dan metode deflasi.
2. Bagi pemerhati matematika, sebagai tambahan
pengetahuan bidang matematika, khususnya
metode numerik dan aljabar linear.
3. Bagi lembaga UIN Malang, untuk bahan
kepustakaan yang dijadikan sarana
pengembangan wawasan keilmuan.
F. Metode Penelitian 1.
Pendekatan dan Jenis Penelitian Jenis
penelitian ini adalah deskriptifkualitatif, yaitu pencarian fakta dengan interpretasi tepat untuk membuat
gambaran atau lukisan secara sistematis, faktual, dan akurat mengenai
fakta-fakta, sifat-sifat, serta hubungan antar fenomena yang diselidiki. Dengan demikian,
pendekatan yang digunakan adalah pendekatan
kualitatif dengan metode kepustakaan.
2.
Bahan Kajian Data yang diperlukan
dalampenyusunan skripsi ini adalah data mengenai nilai eigen dan vektor eigen, metode pangkat
dan variasinya, metode deflasi, serta data-data
tambahan yang mendukung penelitian ini. Sumber data dalamskripsi ini yaitu buku-buku aljabar linear, buku-buku
metode numerik, dan buku-buku matematika
lain yang mendukung penelitian.
3. Teknik Kajian Teknik kajian yang digunakan dalampembahasan
skripsi ini adalah penelitian
kepustakaan (Library research). Penelitian kepustakaan/ studi kepustakaan merupakan penampilan argumentasi
penalaran keilmuan yang memaparkan hasil
pemikiran peneliti mengenai suatupermasalahan atau topik kajian. Studi
kepustakaan berisi satu topik kajian yang di dalamnya memuat beberapa gagasan atau proposisi yang berkaitan
dan harus didukung oleh data yang
diperoleh dari berbagai sumber kepustakaan.
4. Analisis Hasil Dalammenganalisis data, penulis menjabarkan
algoritma-algoritma yang berkaitan
dengan rumusan masalah, kemudian membuat contoh-contoh soal dan penyelesaiannya. Hasil penbahasan ini kemudian
dikomunikasikan dengan dosen matematika
khususnya dosen pembimbing.
G. Sistematika Pembahasan Agar penulisan skripsi ini lebih terarah,
mudah ditelaah dan dipahami, makadigunakan
sistematika pembahasan yeng terdiri dari empat bab. Masingmasing bab dibagi ke
dalambeberapa subbab dengan rumusan sebagai berikut: BAB I
PENDAHULUAN Pendahuluan meliputi:
latar belakang permasalahan, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat
penelitian, metode penelitian, dan
sistematika pembahasan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Bagian ini terdiri atas konsep-konsep
(teori-teori) yang mendukung bagian
pembahasan. Konsep-konsep tersebut antara lain membahas tentang matriks, determinan, nilai eigen,
vektor eigen, metode pangkat, dan metode
deflasi.
BAB III PEMBAHASAN Pembahasan berisi tentang bagaimana menemukan
nilai eigen dan vektor eigen dengan
menggunakan metode pangkat yang meliputi metode pangkat langsung, metode pangkat
invers, metode pangkat yang diubah, dan
metode pangkat invers yang diubah serta bagaimana menemukan nilai eigen dan vektor eigen dengan
menggunakan metode pangkat langsung dan metode deflasi.
0 komentar:
Posting Komentar