BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Matematika termasuk salah satu
ilmu pengetahuan yang banyak dikaji dan
diterapkan pada berbagai bidang. Matematika dapat dikatakan “Queen of
Science” karena matematika
menempati posisi yang
cukup penting dalam
kajian-kajian ilmu yang
lain. Matematika sebenarnya
telah diciptakan sejak
zaman dahulu, manusia
hanya menyimbolkan fenomena-fenomena yang
ada dalam kehidupan
sehari-hari. Manusia dianugerahi Allah petunjuk dengan kedatangan sekian
rasul untuk membimbing
mereka. Dalam kehidupan
sehari-hari, manusia tidak
lepas dari berbagai
masalah yang menyangkut
berbagai aspek penyelesaiannya perlu
pemahaman melalui suatu metode dan ilmu bantu tertentu.
Matematika merupakan salah satu cabang
ilmu yang mendasari berbagai macam ilmu lain. Matematika juga merupakan
alat untuk menyederhanakan penyajian dan
pemahaman masalah (Purwanto, 1998:1).
Seiring dengan
perkembangan zaman, keilmuan
matematika juga berkembang
dalam konsep dan
penerapannya, baik penerapan
dalam kehidupan sehari-hari
maupun dalam hubungannya
dengan disiplin ilmu
lainnya. Matematika mempunyai
beberapa cabang keilmuan
yang masing-masing mempunyai
penerapan dalam hubungannya
dengan berbagai disiplin
ilmu lain dan
dalam kehidupan sehari-hari.
Salah satu dari cabang-cabang ilmu tersebut adalah Aljabar abstrak.
Aljabar abstrak merupakan
bagian dari ilmu
matematika yang berkembang
dengan pesat karena
berhubungan dengan himpunan,
dan sifat struktur-struktur di dalamnya.
Salah satu yang dipelajari dalam
ilmu aljabar abstrak adalah teori tentang
grup. Grup adalah
sebuah pasangan berurutan
(,∗) dimana
adalah sebuah himpunan dan
" ∗ "
adalah sebuah operasi biner pada yang memenuhi aksiomaaksioma tertentu yaitu
tertutup, bersifat assosiatif, memuat identitas, dan memuat invers
dari setiap elemennya.
Dalam aljabar abstrak
juga dipelajari tentang
isomorfisme, grup simetri
dan grup dihedral. Isomorfisme
adalah suatu pemetaan dari himpunan
grup pertama ke
himpunan grup kedua
yang memenuhi homomorfisme
dan bersifat bijektif.
Grup simetri merupakan
grup yang himpunannya
terdiri dari simetri-simetri segi-n
beraturan dengan operasi
komposisi yang memenuhi
grup. Sedangkan grup
dihedral adalah himpunan
simetri-simetri dari segi-n
beraturan dengan operasi
komposisi yang memenuhi
aksioma-aksioma grup.
Pada grup
terdapat beberapa sub
himpunan yang merupakan
grup yang disebut subgrup. Subgrup dalam penelitian ini adalah subgrup simetri dari
bidang beraturan cabang-n.
Bidang beraturan tersebut
bukan bidang beraturan
pada umumnya, melainkan
perkembangan dari bidang beraturan pada umumnya. Dari
bidang beraturan cabang-n
tersebut apakah akan terbentuk suatu pola? Bagaimana
pola yang terbentuk? Dan apakah
subgrup simetri dari bidang beraturan
cabang-n tersebut dimungkinkan akan isomorfik dengan grup dihedral? Berdasarkan latar belakang tersebut maka
penulis tertarik untuk mengkaji
tentang “isomorfisme subgrup
simetri dari bidang
beraturan cabang-n dengan grup
dihedral” dengan harapan dapat lebih memperdalam materi yang
berhubungan dengan penelitian tersebut. Hasil dari penelitian ini dapat
dijadikan teorema sebagai tambahan pustaka perkuliahan, khususnya bidang
aljabar abstrak.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang
telah diuraikan di atas, rumusan masalah
dalam penelitian ini adalah: 1.
Bagaimana pola banyaknya
titik sudut terluar
pada bidang beraturan
cabang-n? 2. Bagaimana pola
banyaknya titik sudut pada bidang beraturan cabang-n? 3. Bagaimana
pola banyaknya bidang
beraturan cabang-n pada
bidang beraturan cabang-n?
4. Bagaimana pola
banyaknya sikel rotasi
dan refleksi subgrup
simetri dari bidang beraturan cabang-n? 5. Bagaimana
isomorfisme subgrup simetri
dari bidang beraturan
cabang-n dengan grup dihedral.
1.3
Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di
atas, tujuan dari penelitian ini adalah: 1.
Mengetahui dan
mendiskripsikan pola banyaknya titik
sudut terluar pada bidang beraturan
cabang-n.
2. Mengetahui dan mendiskripsikan pola banyaknya titik sudut pada bidang beraturan cabang-n.
3. Mengetahui
dan mendiskripsikan banyaknya
bidang beraturan cabang-n
pada bidang beraturan cabang-n.
4. Mengetahui
dan mendiskripsikan pola
banyaknya sikel rotasi dan refleksi
subgrup simetri dari bidang beraturan cabang-n.
5. Mengetahui dan mendiskripsikan isomorfisme
subgrup simetri dari bidang beraturan
cabang-n dengan grup dihedral.
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan
dapat memberikan manfaat bagi: 1.
Peneliti Peneliti memperoleh tambahan
pengetahuan tentang Aljabar
abstrak, khususnya tentang
isomorfisme, subgrup simetri,
dan grup dihedral.
Selain itu, peneliti
juga memperoleh tambahan
wawasan penelitian tentang
isomorfisme subgrup simetri
dari bidang beraturan
cabang-n dengan grup dihedral.
2. Lembaga Bagi lembaga, sebagai tambahan
pustaka untuk bahan perkuliahan
tentang isomorfisme, subgrup
simetri, dan tentang
grup dihedral. Selain
itu, juga sebagai
tambahan pustaka untuk
rujukan penelitian tentang
isomorfisme subgrup simetri
dari bidang beraturan cabang-n
dengan grup dihedral.
0 komentar:
Posting Komentar