BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang.
Matematika merupakan suatu ilmu
yang mempunyai obyek kajian abstrak, yang
universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, dan mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin serta
mengembangkan daya pikir manusia.
sehingga memuat
variabel–variabel yang bermanfaat
bagi disiplin ilmu
lain.
Dalam hal ini memacu pengguna
matematika lebih berwawasan luas karena tidak dibatasi oleh suatu konsep tertentu. Pola
pikir matematika bersifat deduktif yaitu dari
obyek yang umum
menuju suatu pengambilan
suatu kesimpulan, sehingga dapat menjembatani menuju langkah selanjutnya.
Aplikasi matematika
dapat diamati dalam
proses penyelesaian suatu permasalahan yang
dimodelkan dalam konsep
matematika. Dengan memperhatikan
semesta pembicaranya, konsep
tersebut akan lebih mudah diselesaikan
dan dapat diambil suatu perkiraan yangmendekati suatu kesimpulan.
Jika suatu permasalahan itu
kompleks, maka dapat dibentuk sistem matematika.
Sehingga aplikasi–aplikasi matematika
seperti perkembangan pesat
di bidang teknologi
informasi dan komunikasi
dewasa ini dilandasi
oleh perkembangan matematika yang menitikberatkan pada perbedaan
aspek–aspek teori. Dari sudut pandang adanya
macam–macam aspek teori
tersebut, ilmu matematika memperlebar cakupan pemahamannya pada beberapa
cabang, seperti matematika analisis,
statistik, dan pemrograman (Parzynski, 1982:149).
Analisis matematika modern atau
kalkulus lanjutan tidak menekankan pada perhitungan
dan
rumus atau aturan,
tetapi pembahasannya didasarkan
pada pengembangan konsep
dasar dan teori
dengan menggunakan penalaran
untuk memperoleh prinsip–prinsip
yang berupa definisi, aksioma, lemma, corollary, dan teorema–teorema beserta
pembuktiannya. Sedangkan klasifikasi
materi dan pendekatannya memang bersifat sangat abstrak
dan intuitif untuk memahami dan mengembangkan metode–metode
dan teknik–teknik yang
dipergunakan dalam bukti–bukti.
Sehingga suatu pemahaman
yang baik sangat
diperlukan untuk kesuksesan
dalam mempelajari analisis
matematika. Selain itu,
analisis mendominasi wilayah dari
matematika. Karena ide–idenya merupakan dasar dan keutamaan
yang tidak hanya
didefinisikan saja, tetapi
artinya diterima secara universal (Golbert, 1976:2).
Himpunan dalam
matematika didiskripsikan sebagai
suatu suku, suatu himpunan
adalah koleksi yang didefinisikan dengan jelas dari obyek–obyek yang disebut
elemen–elemen atau anggota–anggota, sedangkan
suku hanya didefinisikan artinya untuk beberapa mekanisme
yangkeberadaannya digunakan untuk menentukan
suatu anggota dari
himpunan. Adapun himpunan
merupakan suatu konsep
yang paling penting
dalam analisis matematika
dan aplikasi– aplikasinya menduduki
suatu peranan pusat
dalam materi panjang
selang suatu interval (Paul, 1978:49).
Suatu barisan adalah suatu yang
domain (daerah asal) nya adalah himpunan bilangan
asli, sedangkan fungsi–fungsi
yang didefinisikan pada N
(bilangan– bilangan asli)
adalah suatu subset
dari ℜ (bilangan–bilangan real)
yang dapat menunjukkan
nilai dari suatu
barisan. Selain itu,
konsep barisan digunakan sebagai
alat dan ide
limit dari suatu
barisan yang mempersiapkan
simbol lebih umum yaitu limit fungsi. Sehingga barisan
adalah ide dasar untuk semua limit dan fungsi,
sedangkan untuk fungsi–fungsi terbatas padalimit merupakan dasar dari kalkulus (Paul, 1978:216).
Himpunan bilangan
real mempunyai sifat–sifat
analog untuk barisan dari bilangan real.
Barisan dan himpunan
dari bilangan real
dapat disebut sebagai koleksi–koleksi dari bilangan
real. Suatu himpunan
sebagai bagian dari struktur suatu
barisan dan digunakan
dalam suatu spectrum
matematika yang luas.
Sedangkan range
dari suatu barisan
adalah suatu himpunan
yang sifat–sifatnya dapat
menolong dalam menentukan
karakteristik–karakreristik
dari barisan. Jika range
dari barisan dinotasikan { } n a yang
didefinisikan { } ℜ ∈ n a n | dan terbatas, maka barisannya adalah { } n a itu sendiri. Tetapi sebaliknya, syarat
perlu dari suatu barisan yang konvergen
adalah terbatas. Karena mempunyai satu titik cluster (titik limit).
Sehingga himpunan analog
dari suatu titik
cluster (titik limit)
dari suatu barisan dengan pengkhususan–pengkhususan
tertentu pada definisinya (Manfred, 2001:23).
Kekontinuan adalah konsep yang
paling penting dalammatematika analisis, dan
aplikasi–aplikasinya
menduduki suatu peranan
pusat dalam materi
panjang selang suatu
interval. Suatu fungsi
yang kontinu merupakan
pengertian tertentu dari suatu ukuran.
Definisi–definisi dan
teorema–teorema dalam himpunan dan barisan sangat dibutuhkan
dalam mengkonstruksi ukuran.
Oleh sebab itu,
dipergunakan perluasan sistem
bilangan real yang merupakan subyek aktual dan bagian penting untuk memulai ide yang lebih dasar serta
aproksimasi dari suatu ukuran. Sehingga suatu
himpunan dan barisan memicu perkembangan beberapa teori ukuran, antara lain
ukuran pada ring,
ukuran Hausdorff, ukuran
Haar, dan ukuran
Spectral.
Sedangkan setiap
himpunan yang mempunyai
pendekatan yang baik dari himpunan–himpunan kompak
(Compact sets) memperkenalkan ukuran
luar (Outer measure) dan ukuran
dalam (Inner measure) (Paul, 1978:73).
Teori ukuran
merupakan suatu ilmu utama yang
termasuk di dalam kelompok analisis
dan merupakan pembahasan
pokok dalam kalkulus,
serta merupakan salah
satu topik yang
terdepan. Seperti ilmu–ilmu
yang lain dalam matematika, maka
teori ukuran modern
bukanlah subyek mati
dan masih tetap berkembang luas
seperti ilmu–ilmu lainnya
baik dari segi teori
maupun pemakaiannya. Selain
itu, konsep ukuran
lebih menekankan pada
variabel real dengan teori utama kalkulus modern.
Teori ukuran
didasarkan pada suatu
teori dari himpunan
terukur. Ide dan gagasan teori
ukuran berasal dari
suatu himpunan yang
dalam urutannya didasarkan
pada ide primitif
dan klasik dari
ukuran (volume) suatu interval.
Pendekatan alternatif dari suatu
ukuran akan mempertimbangkan suatu keluarga dari himpunan dan mengasumsikan bahwa mereka
semua mempunyai ukuran. Hal itu mengasumsikan
bahwa setiap anggota
dari himpunan dapat
diklasifikasikan dalam anggota
yamg memenuhi dasar
dan syarat dari
suatu ukuran (Paul, 1978:121).
Berasal dari
asumsi tersebut, maka
pada tahun 1875–1944
Henry Leon Lebesgue,
seorang matematikawan Prancis
mencermati fenemena generalisasi panjang atau ukuran selang. Selanjutnya
Lebesgue menyusun suatu ukuran yang sangat
diperlukan dalam banyak wilayah matematika yang dikenal dengan nama ukuran Lebesgue. Ukuran Lebesgue dari A yang dinotasikan ( ) A µ merupakan ukuran himpunan ℜ ⊂ A (ukuran
dari suatu bilangan real nonnegatif). Sedangkan dengan
menggunakan ukuran Luar,
Lebesgue menyusun teori
ukuran luar Lebesgue.
Ukuran luar Lebesgue
ini merupakan ukuran luar
yang teratur, sehingga
bahwa suatu ukuran
menyebabkan timbulnya ukuran
luar dan bahwa ukuran luar
juga menyebabkan suatu
ukuran. Keduanya merupakan suatu ketentuan yang
alami. Lalu dengan
menggunakan ukuran dalam,
Lebesgue menyusun teori ukuran
dalam Lebesgue (Frank, 1993:60).
Selanjutnya Lebesgue
memperluas daerah definisi
ukurannya pada ukuran kumpulan
terbuka dan tertutup
terbatas yang mendasarkan
masing–masing definisinya
pada teorema Caratheodory.
Kemudian dengan struktur
komplit dari himpunan–himpunan, maka Lebesgue memperluas
daerah definisi fungsi ukuran pada garis real atau meletakkannya dalam ruang
dimensi ℜ . Dalam hal ini suatu tugas yang nontrivial untuk menentukan
terdapatnya himunan–himpunan terukur atau tidak.
Fungsi–fungsi pada ℜ diasumsikan pada sifat
variasi dari garis real ℜ
. Jadi ukuran Lebesgue dinobatkan sebagai pembuka pintu teori tentang ukuran dalam
garis real. Dengan
menggunakan ukuran Lebesgue,
maka Lebesgue menciptakan dan menyusun suatu teori integral
baru yang dikenal dengan nama integral
Lebesgue, sebab penerapan
ukuran Lebesgue pada
integral Lebesgue, mengakibatkan
bahwa integral Lebesgue
memberikan perluasan indah
dari integral Riemann dan
integral Stieltjes, karena integral Lebesgue membuat lebih banyak
fungsi dapat diintegralkan, tetapi
tidak berlaku sebaliknya.
Jadi ukuran Lebesgue
dalam integral Lebesgue
termasuk pembahasan baru
dalam analisis matematika modern (Frank, 1993:121).
Sains mengungkapkan
bahwa alam semesta
ini tidak terjadi
secara kebetulan. 'Tuhan
tidak sedang bermain
dadu”, ungkap Albert
Einstein. Semua berdasarkan
perhitungan, ukuran, dan
perencanaan yang matang,
bahkan ketika dentuman
besar pertama dimana
Allah, dengan kata
“Kun-Nya”, Jadilah, menciptakan
alam semesta dalam
hitungan 0 = t hingga
− detik. Stepphen Hawking mengatakan “Seandainya pada saat
dentuman besar terjadi kurang atau lebih
cepat seperjuta detik saja, maka alam semestatidak akan seperti ini (Abah, 2007:19).
Firman Allah dalam surat Al –
Qomar ayat 49 ٍﺀﻲﺷ ّﹶﻞﹸﻛ ﺎّﻧِﺇ ٍﺭﺪﹶﻘِﺑ ﻩﺎﻨﹾﻘﹶﻠﺧ Artinya:
Sesungguhnya Kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran.
Berdasarkan QS Al – Qomar ayat
49, uraian dan pemaparan tersebut, dalam skripsi
ini akan mengitlakkan
“UKURAN LEBESGUE DALAM
GARIS BILANGAN REAL”.
Dibahas juga sifat–sifat
dasar, teorema-teorema, dan lemma-lemma, serta pembuktian kebenarannya.
1.2. Rumusan Masalah.
Berdasarkan latar
belakang tersebut, maka
rumusan masalah dalam
skripsi ini adalah : Apa
teorema–teorema dan bagaimana
pembuktiannya pada ukuran Lebesgue dalam garis bilangan real ? 1.3. Tujuan Penulisan.
Berdasarkan rumusan masalah
tersebut, maka tujuan dalam penulisan skripsi ini adalah : Menyebutkan
dan mendiskripsikan, serta
membuktikan teorema–teorema yang berlaku pada ukuran Lebesgue dalam garis
bilangan real.
1.4. Manfaat Penulisan.
Penulisan skripsi ini bermanfaat
bagi : 1.4.1. Penulis,
yaitu sebagai penambah
pengetahuan tentang
teori-teori yang terkait dengan teori ukuran.
1.4.2. Pembaca, yaitu sebagai
wahana dalam menambahkhazanah keilmuan dan sebagai
titik awal pembahasan
yang bisa dilanjutkan
atau lebih dikembangkan.
1.4.3. Lembaga,
yaitu sebagai tambahan
pengetahuan dan pustaka
yang terkait dengan teori ukuran.
0 komentar:
Posting Komentar