BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Matematika merupakan disiplin ilmu yang
mempunyai sifat yang khas jika dibandingkan
dengan ilmu yang lain. Hal ini sangat dimungkinkan karena matematika mempunyai struktur dengan
keterkaitan yang kuat dan jelas antara satu
dengan yang lainnya serta pola pikir yang bersifat deduktif dan konsisten.
Matematika bukan hanya ilmu
warisan dari para ahli matematika pada zaman
dahulu melainkan ilmu yang berkembang mengikuti perkembangan zaman.
Cabang dari ilmu matematika yang
masih berkembang di antaranya adalah Matematika
Diskrit, Numerik, Analisis Real, dan lain-lain. Dari berbagai cabang ilmu matematika, Matematika Diskrit adalah
cabang ilmu yang mengkaji obyekobyek diskrit. Obyek diskrit merupakan obyek
yang terdiri dari sejumlah berhingga
elemen berbeda dan tidak bersambungan.
Materi yang terkandung dalam
Matematika Diskrit mencakup beberapa hal,
salah satunya adalah teori graf. Teori graf adalah cabang matematika yang cukup penting karena mempunyai segi di banyak
bidang ilmu, misalnya di bidang fisika,
kimia, ilmu komunikasi, teknologi komputer, rekayasa listrik dan sipil, arsitektur, penelitian operasional
(operational research) genetika, psikologi, sosiologi, ekonomi, antropologi, dan
linguistik. Teori graf juga berkaitan erat dengan beberapa cabang matematika yang lain,
misalnya teori “grup”, teori matriks,
analisis numerik, teori peluang, topologi, dan kombinatorika (Suryanto, 1 16 1986:1). Representasi visual dari graf adalah
dengan menyatakan obyek sebagai titik
sedangkan hubungan antara obyek dinyatakan dengan garis/sisi.
Dalam Islam, himpunan titik dapat
dianalogikan sebagai himpunan orangorang mukmin sedangkan garis atau sisi yang
menghubungkan titik-titik tersebut dianalogikan
sebagai kesabaran. Adanya garis yang menghubungkan titik-titik tersebut adanya sifat kesabaran yaitu pada
orang-orang mukmin tersebut. Jika orang-orang
mukmin yang bersabar tersebut disatukan atau dikumpulkan maka mereka mampu menciptakan suatu kekuatan yang
luar biasa sehingga mampu mengalahkan
kekuatan orang kafir yang sepuluh kali lipat jumlahnya. Seperti yang tercantum dalam QS. al-Anfal ayat 65: $pκš‰r'¯≈tƒ
©É<¨Ζ9$#
ÇÚÌhym š⎥⎫ÏΖÏΒ÷σßϑø9$# ’n?tã
ÉΑ$tFÉ)ø9$# 4 βÎ) ⎯ä3tƒ öΝä3ΖÏiΒ tβρçô³Ïã
tβρçÉ9≈|¹ (#θç7Î=øótƒ È⎦÷⎫tGs($ÏΒ βÎ)uρ
⎯ä3tƒ
Νà6ΖÏiΒ ×πs($ÏiΒ ( #þθç7Î=øótƒ $Zø9r&
z⎯ÏiΒ
š⎥⎪Ï%©!$#
(#ρãxx. óΟßγ¯Ρr'Î/ ×Πöθs%
ω šχθßγs)øtƒ ∩∉∈∪
Artinya: Hai nabi, Kobarkanlah semangat para mukmin untuk berperang. jika ada dua puluh orang yang sabar diantaramu,
niscaya mereka akan dapat mengalahkan
dua ratus orang musuh. dan jika ada seratus orang yang sabar diantaramu, niscaya mereka akan dapat
mengalahkan seribu dari pada orang
kafir, disebabkan orang-orang kafir itu kaum yang tidak mengerti. (QS. al-Anfaal:65) Maksud dari orang-orang kafir yang tidak
mengerti adalah mereka tidak mengerti
bahwa perang itu haruslah untuk membela keyakinan dan mentaati perintah Allah. Mereka berperang hanya
semata-mata mempertahankan tradisi Jahiliyah
dan maksud-maksud duniawiyah lainnya.
Para ahli matematika mulai
mempelajari teori graf sejak diperkenalkan oleh Leonard Euler seorang matematikawan dari
Swiss pada tahun 1736, saat dia mendiskusikan
mungkin atau tidaknya melintasi semua jembatan Konisberg 2 17 (sebelah timur Prussia, Jerman) yang sekarang
bernama Kaliningrad dengan hanya
melewatinya satu kali. Di Kaliningrad terdapat sungai Pregal yang mengitari pulau Kneiphof, kemudian bercabang
menjadi dua anak sungai. Ada tujuh
jembatan yang menghubungkan daratan yang dibelah sungai tersebut.
Permasalahannya adalah “apakah
mungkin melintasi ketujuh jembatan tersebut masing-masing tepat satu kali dan kembali ke
tempat semula?”. Eulerpun membuat model
masalah tersebut dalam bentuk graf. Daratan dinyatakannya sebagai titik (vertex) dan jembatan
dinyatakannya sebagai sisi (edge). Jawaban yang dinyatakannya adalah seseorang tidak
mungkin melalui ketujuh jembatan tersebut
masing-masing satu kali dan kembali ke tempat semula jika derajat setiap titik tidak seluruhnya genap yaitu banyaknya
sisi pada setiap titik (Suryanto, 1986:2).
Dalam kehidupan sehari-hari
banyak permasalahan yang memerlukan pemecahan.
Sering dengan bantuan matematika, permasalahan tersebut menjadi lebih mudah dipahami, lebih mudah dipecahkan,
atau bahkan dapat ditunjukkan bahwa
suatu persoalan tidak mempunyai penyelesaian. Untuk keperluan tersebut, perlu dicari pokok permasalahannya dan
kemudian dibuat rumusan atau model matematikanya.
Dengan menggunakan rumusan atau model teori graf yang tepat, suatu permasalahan menjadi lebih jelas,
sehingga mudah menganalisanya.
Permasalahan yang dirumuskan
dengan teori graf dibuat sederhana, yaitu diambil aspek-aspek yang diperlukan dan dibuang
aspek-aspek lainnya (Purwanto, 1998:1).
3 18 Salah
satu permasalahan dalam teori graf adalah pewarnaan titik, sisi, dan permukaan pada suatu graf. Permasalahan
pewarnaan pada graf muncul pada tahun
1852 ketika seorang mahasiswa di Inggris bernama Francis Guthrie menulis surat kepada saudaranya, yaitu Frederick
Guthrie, untuk memberitahukan pendapatnya
(pendapat Francis) bahwa cukup empat warna untuk mewarnai peta sedemikian sehingga setiap wilayah terhubung
dari suatu negara mendapat satu warna,
dan setiap dua wilayah yang bersekutu perbatasan mendapat warna yang berbeda. Francis minta kepada Frederick bukti
matematis tentang kebenaran pendapatnya
itu. Karena tidak dapat membuktikan kebenaran itu, maka Frederic menanyakan kepada dosennya, seorang ahli
matematika pada abad itu yaitu de Morgan.
Sejak saat itu telah banyak ahli matematika yang berusaha menyelidiki apakah pendapat Francis tadi benar. Baru pada
tahun 1976 ada yang berhasil membuktikan
bahwa pendapat Francis itu benar. Tetapi tidak setiap orang puas dengan bukti yang telah diperoleh itu, karena
bukti itu sangat tergantung kepada bantuan
komputer. Benar atau salahnya bukti itu tidak dapat diuji tanpa bantuan komputer (Suryanto, 1986:154).
Suatu pewarnaan permukaan (face
colouring) untuk graf bidang Gadalah suatu
penggunaan sebagian atau semua kwarna
untuk mewarnai semua permukaan di graf
bidang Gsehingga setiap ada dua permukaan dipisahkan oleh sebuah sisi diberi warna yang berbeda. Jika
graf bidang Gmempunyai pewarnaan permukaan
k, maka dikatakan permukaan di graf bidang Gdiwarnai dengan k warna. Sedangkan
bilangan kromatik didefinisikan sebagai banyaknya warna terkecil yang diberikan pada permukaan di graf
bidang Gsedemikian hingga 4 19 untuk
dua permukaan dipisahkan oleh sebuah sisi diberi warna yang berbeda (Bondy, 1982:158).
Pewarnaan permukaan dapat juga
diberikan kepada bangun ruang, seperti limas
dan prisma. Limas adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segitiga atau segibanyak sebagai alas dan
beberapa buah bidang berbentuk segitiga
sebagai bidang tegak yang bertemu pada satu titik puncak. Sedangkan prisma adalah suatu bangun ruang yang dibatasi
oleh dua bidang berhadapan yang sama dan
sebangun atau kongruen dan sejajar, serta bidang-bidang lain yang berpotongan menurut rusuk-rusuk yang sejajar.
Ada beberapa pewarnaan dalam
suatu graf, yaitu pewarnaan titik, pewarnaan
sisi, dan pewarnaan permukaan.Dalam penulisan skripsi ini penulis akan mengambil salah satu topik dari
pewarnaan-pewarnaan pada graf tersebut yaitu
pewarnaan permukaan. Pewarnaan permukaan adalah salah satu masalah mendasar pada graf, sehingga tidak ada dua
permukaan yang dipisahkan oleh sebuah
sisi mempunyai warna sama. Pada pewarnaan ini akan ditentukan berapa minimal angka yang dapat digunakan dalam
mewarnai permukaan suatu graf (bilangan
kromatik). Permukaan yang akan diwarna adalah limas, prisma, dan gabungan limas dan prisma.
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka
rumusan masalah dalam penulisan skripsi
ini adalah bagaimana face colouringpada limas, prisma, dan 5 20 gabungan limas dan prisma serta bagaimana
menentukan bilangan kromatiknya dan
membuktikannya? 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah tersebut maka,
tujuan penulisan skripsi ini adalah
mengetahui bagaimana face colouringpada limas, prisma, dan gabungan limas dan prisma, serta mengetahui bagaimana
menentukan bilangan kromatiknya dan
membuktikannya.
1.4 Batasan Masalah Agar pembahasan dalam skripsi ini tidak meluas
maka penulis membatasi objek kajian pada
limas segi-݊ ሺܮሻ, prisma segi-݊
ሺܲ ሻ,dan gabungan limas segi-݊dan prisma segi-݊(ܩ), dimana 3݊6.
1.5 Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini
adalah: 1. Bagi penulis, sebagai sarana dan latihan
untuk menambah pemahaman dan penguasaan
tentang materi yang dibahas dalam penulisan skripsi ini.
2. Bagi pembaca, sebagai tambahan pengetahuan
pada bidang Matematika khususnya teori
graf mengenai cara menentukan bilangan kromatik face colouringpada limas, prisma, dan gabungan
limas dan prisma.
3. Bagi lembaga UIN MMI Malang, untuk bahan
kepustakaan yang dijadikan sarana
pengembangan wawasan keilmuan khususnya di jurusan Matematika untuk mata kuliah Teori Graf.
6 21 1.6
Metode Penelitian Dalam penyusunan
skripsi ini, penulis menggunakan penelitian perpustakaan, yaitu penelitian yang dilakukan
dengan mengumpulkan data-data dan
informasi dengan bantuan bermacam-macam material yang ada di perpustakaan, seperti buku-buku, dokumen,
jurnal, catatan, artikel, dan sebagainya
yang berkaitan dengan pembahasan skripsi ini. Adapun langkahlangkah umum yang
dilakukan penulis adalah: a. Merumuskan masalah yang akan dibahas.
b. Mengumpulkan sumber-sumber dan informasi
dengan cara membaca dan memahami
literatur yang berkaitan dengan pewarnaan graf khususnya pewarnaan permukaan.
c. Menganalisa permasalahan yang telah diperoleh
dengan menjabarkan definisi dan teorema
yang berkaitan.
d. Merumuskan kesimpulan dari hasil analisis
contoh yang telah diberikan.
e. Langkah terakhir dari penelitian ini adalah
menyusun laporan dari penelitian dalam
bentuk tugas akhir.
Analisis data merupakan bagian
yang sangat penting dalam metode ilmiah, karena dengan analisislah data tersebut dapat
diberi arti dan makna yang berguna dalam
memecahkan masalah penelitian. Adapun analisis isi (content analysis) dengan menelaah struktur pewarnaan graf yaitu
face colouringpada limas, prisma, dan
gabungan limas dan prisma. Langkah-langkahnya yaitu: 1.
Menentukan bilangan kromatik dari face colouring pada limas, prisma, dan
gabungan limas dan prisma.
7 22 2. Mencari pola bilangan kromatik face
colouring pada limas, prisma, dan gabungan limas dan prisma.
3. Pola yang diperoleh dinyatakan sebagai
konjektur 4. Konjektur tersebut dinyatakan sebagai teorema
dan dibuktikan.
1.7 Sistematika Pembahasan Agar penulisan skripsi ini lebih terarah,
mudah ditelaah dan dipahami, maka
digunakan sistematika penulisan skripsi ini yang terdiri dari empat bab.
Masing-masing bab dibagi ke dalam
beberapa subbab dengan rumusan sebagai berikut:
BAB I
PENDAHULUAN Pendahuluan meliputi:
latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian,
batasan masalah, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika pembahasan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Bagian ini terdiri dari konsep-konsep atau
teori-teori yang mendukung bagian
pembahasan. Konsep-konsep tersebut antara lain membahas tentang pengertian graf, derajat
suatu titik, graf terhubung, graf dengan
nama tertentu, macam-macam bangun ruang,
pewarnaan pada graf, dan teori graf dalam al-Qur’an.
BAB III PEMBAHASAN Pembahasan berisi tentang bagaimana menentukan
bilangan kromatik face colouring pada
limas, prisma, dan gabungan limas dan
prisma.
8 23 BAB
IV PENUTUP Pada bab ini akan berisi tentang kesimpulan
dan saran.
9 24 BAB II KAJIAN
PUSTAKA 2.1 Konsep Graf dalam Islam Graf merupakan himpunan titik-titik dan
sisi-sisi. Titik-titik dalam suatu graf
dapat diasumsikan menurut keperluan dalam menyelesaikan suatu benda dan dihubungkan dengan suatu sisi, maka hal ini
memiliki artian bahwa dua benda tersebut
mempunyai suatu hubungan tertentu. Jika dua titik dalam suatu graf diasumsikan sebagai kejadian dan dihubungkan
dengan suatu sisi, maka
0 komentar:
Posting Komentar