BAB PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Matematika
merupakan ilmu pengetahuan yang mengalami perkembangan secara terus-menerus dari masa kemasa, semakin
berkembangnya ilmu pengetahuan maka akan mempermudah dalam menyelesaikan suatu permasalahan. Dalam perkembangan dan
kemajuannya, matematika dapat memberikan sumbangan yang besar dalam memecahkan
masalah-masalah pada bidang teknik, perekonomian, sains dan
permasalahan-permasalahan lainnya yang terjadi diatas permukaan bumi ini.
Banyak permasalahan-permasalahan baru yang sebelumnya belum terselesaikan namun kini dapat dipecahkan
dengan matematika, sehingga matematika mendapat perhatian yang besar dari
banyak kalangan.
Metode numerik merupakan suatu
bagian ilmu matematika, khususnya matematika rekayasa yang menggunakan bilangan
untuk menirukan proses matematik, proses matematik ini selanjutnya dirumuskan
untuk menggambarkan keadaan sebenarnya. Permasalahan dibidang sains biasanya
dapat dimodelkan dalam persamaan matematika. Apabila persamaan tersebut
mempunyai bentuk sederhana, maka penyelesaiannya dapat dilakukan secara
analitik.
Pada umumnya bentuk persamaan yang sulit diselesaikan secara analitik
maka penyelesaiannya dapat dilakukan secara numerik. Metode numerik sebagai
alternatif dari metode analitik dapat dikatakan
sebagai suatu rekayasa dalam menyelesaikan masalah matematik yang sulit atau
bahkan tidak dapat diselesaikan secara analitik.Hubungan numerik dengan
matematika rekayasa dapat dikatakan bahwa dalam arti luas ukuran atau qadar
adalah kemampuan merekayasa sesuatu sesuai dengan proporsinya. Dalam hal ini,
manusia sebagai makhluk Allah Swt yang paling sempurna, dilengkapi akal
pikiran, yang dengan akal pikiran tersebut manusia dituntut untuk menyelesaikan
suatu masalah atau bahkan merekayasa penyelesian masalah tersebut. Dalam
menyelesaikan suatu masalah, manusia tidak akan berhenti pada satu cara saja,
tetapi tidak menutup kemungkinan cara lain yang lebih mudah untuk
penyelesaiannya. Sebagai contoh, Allah Swt memberikan alternatif pada hamba-Nya
yang sedang sakit dalam melaksanakan sholat, dengan beberapa alternatif. Dalam
hal ini Allah memberikan kemudahan dan alternatif kepada semua umatnya untuk
menyelesaikan setiap permasalahan yang sedang dihadapi. Sesuai firmannya dalam
surat Alam Nasyrah ayat 5-6 yaitu: Artinya: Karena Sesungguhnya sesudah
kesulitan itu ada kemudahan, Sesungguhnya
sesudah kesulitan itu ada
kemudahan(Qs.Alam Nasyrah / 94:5-6) Penghitungan
numerik adalah suatu teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan
yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan, hasil dari
penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari
penyelesaian analitik atau eksak, karena merupakan nilai pendekatan, maka terdapat galat atau kesalahan
terhadap nilai eksak, nilai galat atau kesalahan tersebut diupayakan sekecil
mungkin terhadap tingkat galat atau kesalahan yang ditetapkan
(Triatmodjo,2002:1). Firman Allah dalam Surat Maryam 94 yaitu: Artinya:
Sesungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan menghitung mereka dengan
hitungan yang teliti(Qs.Maryam /19:94) Ayat
di atas menjelaskan bahwa Allah telah menetapkan balasan dan dengan berbagai
dalil yang pasti bahwa mereka akan terombang-ambing didalam kesesatan serta berpaling dari kebenaran
(Musthafa,1987:154). Sehingga penghitungan numerik merupakan penghitungan yang
memerlukan ketelitian untuk menghindari galat atau kesalahan yang ditimbulkan.
Dalam penghitungan numerik
terdapat beberapa proses hitungan untuk menyelesaikan suatu tipe persamaan
matematis. Operasi hitungan dilakukan dengan iterasi (pengulangan). Oleh karena
itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakan operasi hitungan tersebut.
Tanpa bantuan komputer penghitungan numerik tidak banyak memberikan manfaat.
Bantuan komputer yang digunakan diantaranya
dapat berupa Fortran, Basic, Matlab dan
lain-lain (Triatmodjo,2002:1).
Dalam numerik banyak metode yang
bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial maupun sistem
persamaan differensial. Sistem persamaan differensial merupakan persamaan yang
terdiri dari dua atau lebih fungsi. Sistem persamaan differensial non linear dengan dua
fungsi tak diketahui berbentuk ) , ( ' y x f x dan ) , ( ' y x g y (Hariyanto,1992:194), dimana
fdan gmempunyai turunan parsial yang kontinyu untuk semua y x, , untuk mencari solusi eksak dari sistem persamaan differensial non linear
sangat tidak mungkin sehingga diperlukan metode numerik untuk menyelesaikannya.
Salah satu metode yang digunakan
untuk menyelesaikan sistem persamaan differensial non linear tersebut adalah
metode Euler. Metode Euler merupakan salah satu dari metode satu langkah yang
paling sederhana. Metode ini membantu menggambarkan konsep-konsep yang terlibat
dalam metode lanjut dan metode ini penting untuk dipelajari karena analisis
galatnya mudah untuk dimengerti (Sadijah,1991:75).
Metode ini merupakan pemecahan
masalah dalam sistem karena lebih sederhana, dengan i i i i i i y y dy dan x x
dx t t dt 1 1 , dari persamaan tersebut apabila
disubstitusikan kepersamaan dt y x t f dx ) , , ( dan dt y x t g dy ) , ,
( maka didapatkan: i i i i i i i t t y x
t f x x 1 , , dan i i i i i i i t t y x t g y y 1 ) , , ( (Mathews&Fink,1981:488).
Dalam menyelesaikan sistem persamaan differensial non linear menggunakan metode Euler dapat
menggunakan bantuan Matlab, yang merupakan suatu bahasa pemrograman matematika
untuk analisis dan komputasi numerik. Kelebihan dari Matlab itu sendiri adalah
memudahkan menyelesaikan masalah pemrograman dalam bentuk matrik
(Arhami&Desiani,2005:1).
Penerapan sistem persamaan
differensial non linear juga banyak digambarkan dalam model matematis seperti pada
persamaan sistem Otonomus, persamaan Van der pool serta dalam keadaan yang
lebih mendekati kenyataan, misalnya pada biologi yaitu pada interaksi populasi
(Lotka dan Volterra), pada fisika yaitu mekanika tak linear gerak ayunan
sederhana maupun pada bidang kimia, teknik, dan ekonomi. Selain itu sistem
persamaan differensial non linear juga dapat diterapkan pada penelitian suatu
kasus di kehidupan nyata seperti pada kasus flu burung, HIV, pembelahan sel
pada manusia serta masih banyak yang lainnya yang masih terus dikembangkan.
Oleh karena itu penulis
mengangkat tema penelitian ini dengan Solusi Sistem Persamaan Differensial Non
Linear Menggunakan Metode Euler Berbantuan Program Matlab. B.
Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatas, rumusan masalah dalam
penulisan ini adalah bagaimana penyelesaian sistem persamaan differensial non
linear dengan metode Euler berbantuan program Matlab? C. Batasan Masalah Ruang lingkup pembahasan
dalam skripsi ini adalah pada sistem persamaan differensial biasa non linear orde satu pada otonomus yang berbentuk
) , ( ), , ( ' ' y x g y dan y x f x dengan dua persamaan yang saling terkait
hanya pada bidang phase, lintasan dari sistem otonomus serta solusi dari sistem
otonomus, dan pada selang b t t dengan
kondisi awal 0 ) ( x t x dan 0 ) ( y
t y dengan bantuan Matlab 5.3.1 D.
Tujuan Penulisan Tujuan penulisan ini
adalah untuk mengetahui penyelesaian sistem persamaan differensial non linear
dengan metode Euler berbantuan Matlab dengan menguraikan langkah-langkah menyelesaikan sistem
persamaan differensial non linear pada otonomus menggunakan rumus Euler
berbantuan program Matlab.
E. Manfaat Penulisan 1. Bagi
Penulis Untuk mengembangkan dan
mengaplikasikan pengetahuan dan keilmuan dibidang matematika khususnya
differensial dan numerik.
2. Bagi Pembaca Sebagai tambahan pengetahuan bidang matematika
khususnya metode numerik dan sistem persamaan differensial non linear pada
otonomus.
3. Bagi Lembaga Sebagai bahan pengembangan, perbaikan keilmuan
dan pemaduan sains dan teknologi Sebagai
bahan pustaka tentang pembelajaran mata kuliah numerik dan differensial F.
Metode Penelitian Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah
studi literatur.
Studi literatur yaitu melakukan
penelusuran dengan penelaahan terhadap beberapa literatur yang mempunyai
relevansi dengan topik pembahasan (Nazir,1988:11).
Adapun literatur yang saya
gunakan yaitu: Persamaan Differensial Biasa karangan Pamuntjak & Widiarti Santosa, Differential
Equation third karangan Shepley L.
Ross, Metode Numerik karangan Bambang Triatmodjo
dan masih banyak yang lainnya serta catatan-catatan selama diperkuliahan.
Langkah umum dalam penulisan ini
adalah: Merumuskan Masalah Mengumpulkan bahan atau sumber dan informasi dengan
cara membaca dan memahami literatur yang berkaitan dengan metode Euler dan
sistem persamaan differensial biasa non linear orde satu pada otonomus Setelah
memperoleh data dan informasi tentang metode Euler dan sistem persamaan
differensial non linear pada otonomus, langkah selanjutnya melakukan pembahasan
dengan menguraikan
langkah-langkah penyelesaian
sistem persamaan differensial non linear pada otonomus menggunakan metode Euler.
Kemudian memberikan contoh dan
penyelesaiannya dari sistem persamaan differensial
non linear pada otonomus menggunakan rumus Euler dengan bantuan program Matlab.
Membuat kesimpulan berupa solusi
sistem persamaan differensial non linear pada otonomus menggunakan metode Euler
berbantuan program Matlab.
0 komentar:
Posting Komentar