BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Mempelajari matematika yang sesuai dengan
paradigma ulul albab, tidak cukup hanya berbekal kemampuan intektual semata,
tetapi perlu didukung secara bersamaan
dengan kemampuan emosional dan spiritual. Pola pikir deduktif dan logis dalammatematika juga bergantung pada
kemampuan intuitif dan imajinatif serta
mengembangkan pendekatan rasionalis, empiris, dan logis (Abdusysyakir, 2007:24).
Ayat di atasmenjelaskan bahwa segala
sesuatuyang ada dialamini ada ukurannya,
ada hitungan-hitungannya, ada rumusnya, atau ada persamaannya.
Ahli matematika atau fisika tidak membuat
suatu rumussedikitpun. Mereka hanya menemukan rumusatau persamaan, sehingga
rumus-rumusyang ada sekarang bukan
diciptakan manusia sendiri, tetapi sudah disediakan. Manusia hanya menemukan dan menyimbolkan dalambahasa matematika
(Abdusysyakir, 1997:80).
Sekarang ini banyak permasalahan yang kompleks
dan saling berkaitan satu samalain.
Untuk mempermudah analisis terhadap permasalahan tersebut serta mencari solusi
penyelesaiannya, makadikembangkan berbagai macam pemodelan untuk menyederhanakanmasalah yang
dihadapi,sehingga pemecahan terhadap
persoalan itu dapat dilakukan dari
dasar-dasarnya dulu, sebelum kemudian
menambahkan faktor-faktor yang merumitkan berdasarkan kenyataan di dunia nyata. Salah satunya adalah dengan menggunakan
graf dalammemodelkan permasalahan yang
bisa dijabarkan dengan sisi dan titik, seperti persoalan mencari jalur
terpendek dan lain sebagainya (Nugrahadi, 2008:1) 4 Menurut
catatan sejarah, teori graf pertama kali digunakan oleh seorang ahli matematika dari Swiss yang bernamaEuler
untuk mereperesentasikan Jembatan
Konigsberg, dan menyelesaikanpermasalahan jembatan tersebut.
Konigsberg adalah sebuah kota di sebelah timur
Prussia (Jerman sekarang) dimana
terdapat sungai Pregel danmerupakan tempat tinggal Duke of Prussia pada abad ke-16 (tahun 1736). Kota tersebut
saat ini bernamaKaliningrad, dan merupakan
pusat ekonomidan industri utama di Russia Barat. Sungai Pregel membagi kota menjadi 4 daratan dengan mengalir
mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang
menjadi dua buah anak sungai seperti tampak pada gambar 1.1: Gambar 1.1Jembatan Konigsberg.
Pada abad ke-18 dibangunlah tujuh jembatan
yang menghubungkan ke-empat daratan
tersebut. Pada hari Minggu, masyarakat Konigsberg biasanya berjalanjalan dari
daratan satu ke daratan lainnya melalui jembatan tersebut. Mereka berpikir
apakah mungkin untuk berjalan menyeberangi ke-tujuh jembatan tanpa melalui jembatan yang samadari suatu daratan
dan kembali ke tempat semula.
Masalah ini pertama kali dipecahkan oleh Leonhard Euler. Solusi Euler merepresentasikanmasalah ini kedalam sebuah
graf dengan ke-empat daratan 5 sebagai titik(vertex) dan ketujuh jembatan
sebagai sisi (edge). Graf yang dibuat Euler
diperlihatkan pada gambar 1.2 (Wirawan, 2008:1).
C D A B Gambar 1.2Graf yang Merepresentasikan Masalah
Jembatan Konigsberg.
Dengan graf tersebut, Euler berhasil menemukan
jawaban kenapa orang-orang tidak dapat
melalui ketujuh jembatan tersebutmasing-msing sekali dan kembali ke tempat semula. Jawaban yang ditemukan Euler
adalah karena tidak semua titik pada
graf tersebut berderajat genap. Simpul B, C, dan D berderajat 3, sedangkan simpul A berderajat 5 (Wirawan, 2008:2).
Seiring dengan berjalannya waktu, teori graf
juga semakin berkembang.
Banyak orang melakukan berbagai penelitian
salah satunya adalah pelabelan pada graf. Pelabelan graf menjadi topik yang
banyak mendapat perhatian, karena model-model
yang ada pada pelabelan graf berguna untuk aplikasi yang luas, seperti dalammasalah teori koding,
kristalografi sinar-x, radar, sistem alamat jaringan komunikasi dan desain sirkuit (Gafur,
2008:2).
Masalah pelabelan dalam teori grf mulai
dikembangkan pada pertengahan tahun
1960-an. Pelabelan pada suatu graf muncul pertama kali dari karya Rosa pada tahun 1967. Pelabelan pada suatu graf
adalah sebarang pemetaan (fungsi) yang
memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan (biasanya bilangan bulat). Jika domaindari fungsi adalah
titik, maka pelabelan disebut pelabelan
titik (vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi, maka disebut 6 pelabelan
sisi (edge labeling), dan jika domainnya titik dan sisi, maka disebut pelabelan total (total labeling) (Miller,
2000:165).
Gafur (2008:8) mengatakan bahwa pelabelan
konsekutifpada graf G didefinisikan
sebagai pemberian label pada titik dan sisi suatu graf Gyang memenuhi
fungsi bijektif dari himpunan titik dan himpunan sisi ke himpunan bilangan bulat positif } ,..., 2 , 1 , ,..., 3 , 2 , 1 { q p p p p +
+ + sedemikian sehingga label sisi merupakan harga mutlak dari selisih label dua
titik yang dihubungkan oleh sisi e.
Suatu graf dikatakan konsekutif jikagraftersebutdapat dilabeli secara konsekutif. Dengan demikian, pelabelan
konsekutif merupakan salah satu bentuk pelabelan
pada titik dan sisi.
uv e= Berkaitan dengan uraian di atas, bahwa
segala sesuatu dialamitu sudah ada
rumusnya (qadar) dan pelabelan konsekutif belumpernah dibahas pada skripsi sebelumnya maka penulis tertarik untuk
melakukan penelitian dengan judul
“Pelabelan Konsekutif (Consecutive Labeling) pada Graf Star Sndan Graf Double Star Sn,n+1 untuk nBilangan Asli”.
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkanlatarbelakang tersebut, maka
rumusan masalah dalam penulisan skripsi
ini adalah: 1. Bagaimana perumusan pelabelan konsekutif graf
star Snuntuk nbilangan asli? 2.
Bagaimana perumusan pelabelan konsekutif graf double star Sn,n+1 untuk n
bilangan asli? 7 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkanrumusan masalah diatas, maka tujuan
penulisan skripsi ini adalah: 1.
Menentukan perumusan pelabelan konsekutif graf star Snuntuk nbilangan asli.
2.
Menentukan perumusan pelabelan konsekutif graf double star Sn,n+1 untuk nbilangan asli.
1.4 Manfaat Penelitian Dalamskripsi ini diharapkan dapat bermanfaat
bagi berbagai pihak, di antaranya: a. Bagi Penulis Dalampenulisan skripsi ini, penulis diharapkan
dapat menentukan rumus fungsi pelabelan konsekutif pada graf star Sndan graf
double star Sn,n+1 serta menjelaskan
bahwa graf star Sndan graf double star Sn,n+1 adalah konsekutif.
b. Bagi
Pembaca Diharapkan dapat menambah
wawasan pengetahuan tentang pelabelan konsekutif
pada graf star Sndan graf double star Sn,n+1.
c. Bagi
Lembaga Bagi lembaga UIN Malang, untuk
bahan kepustakaan yang dijadikan sarana pengembangan
wawasan keilmuan khususnya di jurusan matematika untuk mata kuliah teori graf.
8 1.5
Metode Penelitian 1.5.1 Pendekatan dan
Jenis Penelitian Jenis dari penelitian
ini adalah deskriptifkualitatif. Pendekatan yang digunakan adalah pendekatan kualitatif dengan
metode kepustakaan.
Dalampendekatan deskriptif kualitatif ini maka
penulis menggunakan metode penelitian
kepustakaan (Library Research). Metode penelitian kepustakaan yaitu penelitian yang dilakukan di
dalam perpustakaan untuk mengumpulkan
data dan informasi. Pengumpulan data dan informasi tersebut dapat dilakukan dengan bantuan
bermacammaterial yang terdapat di ruang perpustakaan seperti buku-buku dan
dokumen yang ada.
1.5.2 Data dan sumber Data Data yang digunakan penulis dalamrangka
penyusunan skripsi ini adalah data-data
yang meliputi pelabelan konsekutif, graf star, graf double star, dan datadata
lain yang sesuai.
Sumber data dalampenulisan skripsi ini
diperoleh melalui buku-buku antara lain
Gary Chartrand dan LindaLesniak (Graphs and digraphs second edition) Robin J. Wilson dan John J. Watkins
(Graph an Introductiory Approach) dan
sumber-sumber lain yang relevan.
1.5.3 Tehnik Analisis data Dalammenganalisis data, penulis melakukan
pelabelan konsekutif pada beberapa graf
yang diteliti yaitu graf star Sndan graf double star Sn,n+1sampai akhirnya
diperoleh pola tertentu. Polayang diperoleh dianggap sebagai dugaan (konjektur). Kemudian konjektur tersebut
dibuktikan terlebih dahulu. Setelah 9 konjektur terbukti, penulis merumuskan
konjektur tersebut sebagai suatu teorema sehingga diperoleh bahwa graf star
Sndan graf double star Sn,n+1untuk nbilangan asli adalah konsekutif.
1.6 Sistematika Penulisan Laporan penelitian ini disusun dalam 4 (empat)
bab. Pada bab I dijelaskan mengenai
latar belakang, rumusan masalah, tujuanpenelitian,manfaat penelitian, metode
penelitian dan sistematika penulisan. Pada bab II dijelaskan mengenai definisi graf, incident dan adjacent, derajat
titik dari graf, subgraf, graf beraturanr, graf komplit, graf bipartisi, graf
bipartisi komplit, graf terhubung, titik sentral (pusat), graf stardan graf double star, hasil
kali silang, fungsi injektif, fungsi surjektif,
fungsi bijektif, pelabelan konsekutif, serta kajian teori graf dalamAlQur’an..
Pada bab III dijelaskan mengenai pelabelan konsekutif pada graf starSn dan graf
double starSn,n+1. Pada bab IV dijelaskan mengenai kesimpulan dan saran dari pembahasan yang telah diuraikan.
Bagian terakhir merupakan daftar pustaka.
0 komentar:
Posting Komentar