BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Matematika merupakan sebuah ilmu pengetahuan dasar
yang dibutuhkan semua manusia dalam kehidupan sehari-hari baik
secara langsung maupun tidak langsung (Rahman,
2007: 1). Dalam
hubungannya dengan berbagai
ilmu pengetahuan, matematika
berfungsi sebagai bahasa ilmu dengan lingkup universal sebab
dengan menggunakan matematika
kita dapat melakukan
abstraksi dari kenyataan-kenyataan yang
sangat rumit menjadi
suatu model sehingga dapat dicapai ketajaman
dalam memberikan deskripsi,
mempermudah untuk mengadakan
klasifikasi, dan kalkulasi
(Roziana, 2008: 1).
Jadi, dengan menggunakan bahasa matematika suatu persoalan
dapatmenjadi lebih sederhana untuk
disajikan, dipahami, dianalisis, dan dipecahkan.
Persoalan-persoalan yang melibatkan model
matematika banyak dijumpai dalam berbagai
disiplin ilmu pengetahuan
misalnya dalam bidang
fisika, kimia, maupun ekonomi. Persoalan-persoalan tersebut
biasanya dinyatakan dalam bentuk fungsi. Persoalan-persoalan matematika
tersebut sering tidak
dapat diselesaikan dengan perhitungan analitik (eksak) sehingga
perlu dilakukan perhitungan melalui hampiran
atau aproksimasi untuk mendapatkan suatu nilai
yang mendekati nilai eksaknya. Hal ini berarti bahwa dalam
penyelesaian melalui aproksimasi
terdapat suatu kesalahan (error) terhadap
nilai eksaknya.
Dalam perhitungan
dengan aproksimasi terdapat
tiga macam kesalahan (error) yang mungkin terjadi yaitu kesalahan
bawaan, kesalahan pembulatan, dan kesalahan pemotongan
(Triatmodjo, 2002: 2).
Kesalahan bawaan merupakan kesalahan dari nilai data yang mungkin terjadi
karena kekeliruan dalam menyalin data
atau membaca skala pengukuran. Kesalahan pembulatan terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa
angka terakhir dari
suatu bilangan sedangkan kesalahan
pemotongan merupakan kesalahan
karena hanya mempergunakan beberapa
suku pertama. Kesalahan
pemotongan biasanya terjadi
apabila suatu fungsi direpresentasikan dalam bentuk deret
pangkattak hingga.
Pada
umumnya, hampiran terhadap
suatu fungsi dilakukan
berdasarkan penghampiran ke dalam
bentuk polinom. Hal ini sesuai dengan pernyataan Munir (2006: 18) bahwa kebanyakan dari metode-metode
aproksimasi yang diturunkan didasarkan pada
penghampiran fungsi ke
dalam bentuk polinom. Hal
itu dilakukan karena
polinom merupakan bentuk
yang paling mudah
dipahami, mudah dihitung,
dan hanya akan
melibatkan pangkat-pangkat bilangan
bulat sederhana.
Salah satu bentuk polinom yang bisa digunakan
untukmenghampiri suatu fungsi adalah
deret Taylor. Deret Taylor merupakan salah satu jenis deret pangkat (power
series) selain deret Maclaurin
dan deret Laurent. Soemantri (1994:
170) mendefinisikan bahwa yang
dimaksud deret pangkat yakni deret tak hingga yang berbentuk
2.
Mengetahui penerapan aproksimasi
Padé dalam menghampiri
fungsi eksponensial dan fungsi
trigonometri.
1.4
Batasan Masalah Agar pembahasan
dalam penelitian skripsi ini tidak meluas, maka penulis perlu memberikan batasan-batasan sebagai
berikut: 1. Ruang lingkup pembahasan adalah fungsi dengan
variabel kompleks.
2.
Fungsi-fungsi yang dihampiri
memiliki domain cakram berpusat di = z atau dengan
kata lain fungsi-fungsi
tersebut diekspansi ke
dalam deret Maclaurin.
3.
Fungsi-fungsi yang dihampiri
adalah fungsi transenden
jenis fungsi eksponensial dan fungsi trigonometri (fungsi
sinus dan fungsi kosinus).
1.5 Manfaat Penelitian Penulisan
skripsi ini diharapkan
dapat memberikan manfaat
khususnya kepada penulis dan
umumnya kepada semua pembaca baik secara teoritis maupun secara praktis.
1.
Secara Teoritis Hasil penelitian
ini diharapkan dapat
menjadi sarana untuk
menambah wawasan dan
pengetahuan tentang permasalahan-permasalahan aproksimasi untuk
menghampiri suatu fungsi
khususnya menghampiri suatu
fungsi ke dalam bentuk fungsi rasional menggunakan
aproksimasi Padé.
2.
Secara Praktis Hasil penelitian
tentang aproksimasi Padé
ini diharapkan dapat
digunakan untuk menghampiri
suatu fungsi baik
fungsi-fungsi transenden maupun fungsi-fungsi yang lain.
1.6
Metode Penelitian Penelitian ini
merupakan sebuah penelitian kepustakaan (library reseach) yaitu
melakukan penelitian untuk
memperoleh data-data dan
informasi menggunakan teknik
dokumenter, artinya data-data
sumber penelitian dikumpulkan
dari dokumen-dokumen, baik
yang berupa buku,
artikel, jurnal, majalah,
maupun karya ilmiah
lainnya yang berkaitan dengan topik
atau permasalahan yang diteliti
(Azwar, 2004: 5).
Adapun
tahapan-tahapan yang dilakukan
dalam penulisan skripsi
ini adalah sebagai berikut: 1. Mencari,
mempelajari dan menelaah
sumber-sumber informasi yang berhubungan
dengan topik yang diteliti.
2.
Memberikan deskripsi dan
pembahasan lebih lanjut
tentang konstruksi aproksimasi Padé yang sesuai untuk suatu deret
pangkat (power series).
3.
Memberikan contoh penerapan
aproksimasi Padé dalam
menghampiri suatu fungsi
transenden jenis eksponensial dan trigonometri (fungsi sinus dan fungsi kosinus).
4.
Memberikan kesimpulan akhir dari hasil pembahasan.
1.7
Sistematika Penulisan Agar
pembahasan dalam penelitian ini dapat dilakukan secara sistematis, maka sistematika penulisannya disusun dengan
kerangka sebagai berikut: BAB I:
PENDAHULUAN Bab ini
merupakan bab pengantar
yang terdiri dari
latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, batasan
masalah, manfaat penulisan, metode
penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II: KAJIAN PUSTAKA Bab
ini berisi tentang
studi teoritis dari
berbagai literatur dan sumbersumber
yang relevan dengan
masalah yang diteliti.
Bab ini membahas tentang
sistem bilangan kompleks,
fungsi riil, fungsi
variabel kompleks, deret
fungsi kompleks, kekonvergenan
deret fungsi, aproksimasi
fungsi, dan relevansinya dengan
kajian keislaman.
BAB
III: PEMBAHASAN Bab ini
memaparkan hasil penelitian
dan pembahasannya tentang konstruksi
aproksimasi Padé yang
sesuai untuk suatu deret
pangkat (power series),
penerapan aproksimasi Padé
dalam menghampiri suatu fungsi
transenden jenis eksponensial dan trigonometri serta relevansi hasil pembahasan dengan kajian keislaman.
BAB IV: PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dan saran.
BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1
Bilangan Kompleks Himpunan semua
bilangan kompleks dinotasikan
dengan C dan didefinisikan
sebagai { } R y R x yi x z z ∈ ∈ + = = , , : C . Berikut
ini diberikan definisi tentang bilangan kompleks z.
Definisi 2.1.1 Bilangan Kompleks Bilangan
kompleks adalah bilangan yang berbentuk bi
a + atau ib a + Dengan adan bbilangan riil
dan − = i
(Soemantri, 1994: 2).
Jika bi
a z + = menyatakan sembarang
bilangan kompleks, maka a
dinamakan bagian riil dari zdan bdinamakan bagian imajiner dari zsedangkan 1 − = i
dinamakan satuan imajiner
(imaginary unit) (Spiegel,
1999: 136).
Bagian
riil dan bagian
imajiner tersebut biasanya
dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).
Notasi
yang umum digunakan
untuk suatu konstanta
pengganti a dan b adalah
x dan y sehingga penulisan
bilangan kompleks biasanya
lebih banyak dinyatakan dalam bentuk yi x z + = .
Jika Im(z)= 0,
maka bilangan kompleks
z menjadi suatu bilangan riil x. Hal ini menunjukkan bahwa himpunan
bilangan riil merupakan bagian dari
himpunan bilangan kompleks.
0 komentar:
Posting Komentar