BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Pada
awalnya matematika merupakan
alat berpikir yang
sederhana dari kelompok orang biasa untuk menghitung dan
mengukur barang-barang miliknya, kemudian ilmu matematika mengalami
perkembangan hingga menjadi alat pikiran yang
ampuh dari para
ilmuwan untuk memecahkan
persoalan-persoalan yang rumit dalam suatu bidang ilmu. Penggunaan
matematika sebagai bahasa dari ilmu dengan menetapkan
berbagai lambang untuk
mewakili sesuatu sasaran
yang diolahnya menjadikan
pemikiran ilmiah dalam suatu bidang ilmu dapat dilakukan secara
lebih jelas, lebih
leluasa, dan lebih
ringkas. Hasil-hasil pemikiran ilmiah yang
diungkapkan dalam bahasa
matematika lebih cermat
dan tepat. Hal
inilah yang mengakibatkan
ilmu matematika dengan
berbagai cabangnya memiliki banyak terapan yang luas hingga saat ini.
Salah satu
cabang dari ilmu
matematika adalah teori
graf. Teori graf merupakan pokok
bahasan yang mendapat
banyak perhatian karena
modelmodelnya sangat berguna untuk aplikasi yang luas, di antaranya
diterapkan dalam jaringan komunikasi,
transportasi, ilmu komputer,
riset operasi, dan
lain sebagainya. Representasi
visual dari graf
adalah dengan menyatakan
obyek sebagai titik sedangkan
hubungan antara obyek dinyatakan dengan garis.
Dalam Islam,
hubungan antar sesama
mukmin dapat direpresentasikan dengan
menggunakan graf, dimana
terdapat titik yang terhubung dengan
titik lainnya melalui suatu garis
yang disebut sisi. Titik dalam graf dapat dianalogikan sebagai seorang ”mukmin”, sedangkan garis/sisi
yangmenghubungkan titik-titik tersebut dianalogikan
sebagai ”keimanan”. Karena
titik dalam graf
tersebut terhubung dengan titik
yang lain melalui suatu garis, maka hal ini berarti terdapat suatu
keterkaitan antara satu mukmin dengan
mukmin yang lainnya,
dan keterkaitan itu
disebabkan oleh adanya
keimanan yang menghubungkan
antar mukmin. Ayat di atas
menjelaskan bahwa kita harus menciptakan perdamaian antar kelompok orang beriman karena sesungguhnya
orang-orang mukmin yang mantap imannya serta
dihimpun oleh keimanan
meskipun tidak seketurunan adalah bagaikan bersaudara seketurunan.
Kata innama digunakan untuk
membatasi sesuatu. Disini
kaum beriman dibatasi hakikat hubungan mereka dengan
persaudaraan. Penggunaan kata innama dalam
konteks penjelasan tentang
persaudaraan antara sesama
mukmin ini, mengisyaratkan
bahwa sebenarnya semua
pihak telah mengetahui
secara pasti bahwa
kaum beriman bersaudara,
sehingga semestinya tidak
terjadi dari pihak manapun
hal-hal yang mengganggu persaudaraan itu (Shihab, 2002: 247).
Kata ikhwahadalah bentuk jamak
dari kata akh, yang dalam kamus bahasa sering kali
diterjemahkan saudara atau sahabat.
Kata ini pada
mulanya berarti yang
sama. Persamaan dalam garis keturunan
mengakibatkan persaudaraan, demikian
juga persamaan dalam
sifat atau bentuk
apapun, persamaan dalam kebangsaan mengakibatkan
persaudaraan (Shihab, 2002:
247). Dalam surat
AlHujurat ayat 10
ini, dijelaskan bahwa
persaudaraan yang terjalin
antar sesama mukmin
dikarenakan adanya persamaan
agama. Meskipun tidak
seketurunan, berbeda suku bangsa,
tetapi karena persamaan agama mereka bagaikan bersaudara seketurunan, karena dihubungkan oleh keimanan
mereka.
Salah satu
permasalahan dalam topik
graf adalah menentukan
eksentrik digraf dari suatu
graf. Eksentrik digrafdiperkenalkan
pertama kalinya oleh Fred Buckley pada
tahun 90-an. Eksentrik digraf dari graf
ED(G)didefinisikan sebagai graf
yang mempunyai himpunan titik yang sama denganhimpunan titik di Gatau V(ED(G))=V(G),
dimana arc (sisi
berarah) menghubungkan titik
u ke v jika v adalah
titik eksentrik dari u, yaitu jika jarak dari
vke usama dengan jarak terjauh dari
u ke setiap titik di G(eksentrisitas dari u).
Digraf didefinisikan
sebagai graf yang
berarah. Dalam Islam,
misalkan hubungan antara muslim
digambarkan dengan sebuah digraf sebagai berikut: Gambar 1.1.Representasi digraf dimana titik m1 dimaksudkan sebagai seorang
muslim, dan titik m2adalah muslim yang
lain. Dari gambar digraf tersebut titik
m1 dihubungkan dengan m2 , dan arah m menuju
m2, sebaliknya arah
m2 menuju m1.
Misalkan arah
dalam digraf diartikan
”mencintai” maka berdasarkan
gambar digraf dapat
dibaca bahwa m m m yang dalam
hal ini adalah
seorang muslim mencintai
m (muslim yang
lain).
Nabi menandaskan
bahwa tidaklah dipandang
seseorang telah beriman/telah sempurna
imannya, sebelum ia
mencintai segala kebajikan
untuk saudaranya yang muslim dan
yang muslimat seperti dia mencintai untuk dirinya.
Dikehendaki dengan
”apa yang dicintai
untuk dirinya” ialah
”kebajikan yang dicintai untuk dirinya”. Sebagaimana yang
ditegaskan oleh riwayat An-Nasa-y. Di dalam riwayat
itu dikatakan ”
hatta yuhibba li-akhihi
minal khairi”: hingga
dia mencintai kebijakan untuk
saudaranya itu (AshShiddieqy, 2002: 113-114).
Di antara
beberapa jenis graf,
terdapat graf yang
menarik untuk dicari eksentrik
digrafnya karena memiliki
bentuk yang beraturan
sehingga dapat ditentukan
bentuk umumnya. Graf
tersebut adalah graf
sikel dan graf
bipartisi komplit. Graf sikel
Cnadalah graf terhubung ntitik yang setiap titiknya berderajat 2.
Sedangkan graf bipartisi
komplit adalah graf
yang himpunan titiknya
dapat dipartisi menjadi
2 himpunan tak
kosong X dan Y sehingga
tiap titik di X dihubungkan
dengan tiap titik di Yoleh tepat satu
sisi . Jika = mdan
n, maka graf bipartisi tersebut
dinyatakan dengan (Purwanto, 1998: 22).
X = Y n m K , Dari graf
sikel dan graf
bipartisi komplit dapat
ditentukan eksentrisitas dan titik eksentriknya
sehingga dapat digambarkan eksentrik digrafnya. Dengan menentukan eksentrik digraf
dari beberapa graf sikel dan graf bipartisi komplit dapat ditentukan bentuk umum
eksentrik digraf dari kedua graf tersebut.
Maka berdasarkan uraian tersebut, penulismengambil judul ” Eksentrik Digraf dari Graf Sikel (Cn ) dan Graf
Bipartisi Komplit (Km,n)”.
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan
latar belakang di
atas, masalah pokok
yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah: 1.
Bagaimana bentuk umum eksentrik digraf dari graf sikel dengan ntitik (
)? 2.
Bagaimana bentuk umum eksentrik digraf dari graf bipartisi komplit
dengan m dan ntitik (Km,n )? 1.3 Tujuan Penelitian Dari rumusan masalah di atas, dapat
dikemukakan tujuan penulisan skripsi ini,
yaitu untuk: 1. Menentukan bentuk umum eksentrik digraf dari
graf sikel dengan ntitik (Cn).
2. Menentukan bentuk umum eksentrik digraf dari
graf bipartisi komplit dengan mdan
ntitik (Km,n ).
n C n m K , n C 1.4 Batasan Masalah Graf
bipartisi komplit K1,n
atau Kn,1 disebut dengan
graf star, agar pembahasan skripsi
ini tidak meluas,
maka graf yang akan
dicari eksentrik digrafnya
adalah graf bipartisi
komplit yang tidak termasuk ke dalam graf star sehingga dibatasi untuk nilai mdan n adalah m,
2 ≥ n .
1.5 Manfaat Penelitian Penulisan skripsi ini diharapkan dapat
memberikan manfaat, yaitu : 1) Bagi Penulis Memperluas pengetahuan tentang pengembangan
keilmuan khususnya dalam bidang ilmu
matematika mengenai perkembangan dari teori graf, yaitu tentang eksentrik digraf.
2) Bagi Pembaca Bagi
pembaca, skripsi ini
dapat dijadikan sebagai
rujukan dalam melakukan kajian teori graf atau penelitian selanjutnya
dan dapat dijadikan motivasi agar dapat mempelajari
dan mengembangkan ilmu
matematika, khususnya teori graf.
3) Bagi Lembaga Bagi
lembaga, penulisan skripsi
ini dapat bermanfaat
sebagai tambahan perbendaharaan karya tulis ilmiah.
1.6 Metode Penelitian Metode
yang digunakan dalam
skripsi ini adalah
metode penelitian pustaka
(Library research), yaitu dengan mengumpulkan data dan informasi dari berbagai
sumber seperti buku, jurnal, atau makalah-makalah. Penelitian dilakukan dengan
melakukan kajian terhadap
buku-buku teori graf
dan jurnal-jurnal atau makalah-makalah yang
memuat topik tentang
eksentrik digraf. Langkah selanjutnya
adalah menentukan eksentrik
digraf dari beberapa contoh
graf sikel dan graf bipartisi komplit , langkah-langkahnya adalah: a.
Gambar beberapa contoh graf sikel
dan graf bipartisi komplit .
b. Tentukan jarak setiap titik ke titik-titik
yang lain dalam graf tersebut.
c. Tentukan eksentrisitas dan titik eksentrik
setiap titik.
d. Dari
eksentrisitas dan titik
eksentrik yang diperoleh
kemudian digambar eksentrik digraf dari graf sikel dan graf bipartisi komplit .
Melalui beberapa contoh eksentrik
digraf dari grafsikel dan graf bipartisi komplit tersebut, kemudian dicari pola
tertentu. Pola yang didapatkan masih dapat dianggap
sebagai dugaan (konjektur).
Konjektur yang dihasilkan kemudian dibuktikan
dengan terlebih dahulu
merumuskan konjekturnya sebagai
suatu teorema yang dilengkapi
dengan bukti-bukti.
1.7 Sistematika Pembahasan Untuk
mempermudah dalam memahami
skripsi ini secara keseluruhan maka penulis menggunakan sistematika
pembahasan yang terdiri dari 4 bab dan masing-masing
akan dijelaskan sebagai berikut : n C n
m K , n C n m K , n C n m K , BAB I. PENDAHULUAN Pada
bab ini akan
diuraikan tentang latar
belakang, rumusan masalah, tujuan
penelitian, batasan masalah,
manfaat penelitian, metode
penelitian, dan sistematika pembahasan.
0 komentar:
Posting Komentar