BAB I PENDAHULUAN
1 . 1 Latar Belakang Masalah Sejalan dengan
berkembangnya ilmu pengetahuan pada saat ini, para ilmuwan semakin tergerak
hatinya untuk mempelajari, mengkaji dan mendalami ilmu - ilmu yang sedemikian
luasnya, untuk mencari dan menemukan persoalan - persoalan yang terjadi dan
nyata di hadapa n kita.
Namun semua itu tidak terlepas dari ilmu
dasar (basic sciences) sebagai dasar pemikiran yang logis. Matematika telah banyak
mengajarkan kita untuk mengenal dan menjelaskan persoalan- persoalan sekaligus
mendapatkan jawabannya.
Berbagai persoalan dalam ilmu pengetahuan dan
teknologi dapat digambarkan ke dalam bentuk persamaan matematika. Matematika
sebagai ilmu ukur dan hitung memiliki
banyak terapannya. Salah satu di antaranya yaitu tentang model pertumbuhan populasi
Lotka- volt erra tentang sistem mangsa-pemangsa, di mana sistem ini merupakan
sistem persamaan diferensial non linier. Sebagai contoh, yang pertama suatu
jenis hewan, sebut saja mangsa (kelinci)
yang mempunyai makanan yang cukup, dan jenis hewan yang kedua, sebut saja pemangsa (serigala)
yang membutuhkan mangsa sebagai makanannya.
Di atas telah diberikan suatu perumpamaan
mangsa dan pemangsa, yaitu kelinci dan
serigala yang keberadaannya telah ditentukan di dalam hutan.
Kedua perumpamaan tersebut jika dikaitkan
dengan matematika, terutama persamaan
diferensial, ia mempunyai dua variabel tak bebas dan keduanya merupakan bentuk fungsi yang berhubungan
dengan waktu. Misalkan x(t) adalah
banyaknya mangsa (menggunakan x untuk kelinci) dan y(t) adalah banyaknya
pemangsa (deng an y untuk serigala) pada saat t.
Andaikata tidak ada serigala, maka yang akan
terjadi adalah kehidupan kelinci akan
tumbuh berkembang seiring dengan persediaan yang ia miliki, keadaan seperti ini bisa ditulis ke bentuk
persamaan x dt dx a = di
mana a sebagai konstanta positif.
Bisa saja terjadi yang sebaliknya, yaitu tidak
ada mangsa, maka populasi pemangsa akan
berkurang dengan laju sebandin g dengan populasinya, keadaan ini bisa ditulis
dengan persamaan y dt dy g - = di mana g
sebagai konstanta positif.
Karenaterjadi interaksi di antara keduanya,
maka apabila kita modelkan kedalam persamaan akan menjadi: xy x dt dx b a - = dan xy y dt dy d g + - = .
1 . 2 Rumusan Masalah Untukmenentukan nilai
eige n dari persamaan Lotka-Volterra
terdapat suatu permasalahan, yaitu: b agaimana menentukan
nilai eigen dari matriks jacobian dalam
sistem persamaan Lotka - Volterra? 1 . 3 Batasan Masalah Untukmenghindari
pembahasan yang terlalu melebar dari pokok permasalahan, maka penulis
membatasinya dengan permasalahan yang ada kaitannya dengan pembahasan, yaitu: · Sistem persamaan diferensial
nonlinier.
·
Metode matriks dan matriks
jacobian orde dua.
1 . 4 Tujuan Pembahasan Berdasarkan
permasalahan yang telah diuraikan di atas, maka tujuan dan maksud yang ingin dicapai dari pembahasan ini
adalah menjawab persoalan untuk
mengetahui nilai eigen dari matriks jacobian.
1 . 5 Manfaat Pembahasan Penulis berharap s kripsi ini nantinya berguna bagi pihak -
pihak yang membutuhkan referensi tentang pertumbuhan populasi Lotka-Volterra
(sistem predator- pray).
1 . 6 Sistematika Pembahasan Pada penulisan
kali ini, penulis menggunakan sistem bahasan sebagai berikut: BAB I Pendahuluan Pada bagian ini terdiri dari
latar belakang masalah, rumusan
masalah, batasan masalah, tujuan pembahasan , manfaat pembahasan
serta sistematika
pembahasan. BAB II
Kajian Teori Pada bagian ini terdiri dari beberapa kerangka teori,
yaitu sistem persamaan lotka - volterra , kesetimbangan
populasi, pelinieran, bidang fase dan
kestabilan populasi seimbang, metode matriks, matriks jacobian, turunan parsial
dengan menggunakan jacobian, nilai eigen dan vektor eigen, dan sistem non autonomous .
BAB III
Pembahasan Pada bagian ini
merupakan pemaparan atau pmbahasan tentang sistem lotka- volterra.
BAB IV
Kesimpulan dan Saran Pada bagian ini ditekankan pada kesimpulan yang
diperoleh dari pokok bahasan dan saran-saran yang diajukan penulis. BAB II KAJIAN TEORI 2 . 1 Sistem Persamaan
Lotka -Volterra Persamaan Lotka -Volterra menurut ilmu ekologi menggambarkan
sebuah model interaksi dua spesies
(model mangsa- pemangsa), misalkan a merupakan
konstanta positif (laju pertumbuhan mangsa),
b (laju pemangsa terhadap
mangsa), g (laju kematian pemangsa),
dan d (laju pertumbuhan pemangsa dengan mengkonsumsi mangsa). Kondisi
seperti ini dapat kita nyatakan sebagai: 1 .
x menunjukkan laju pertumbuhan
populasi mangsa xdt dx a = (nilai keseimbangan
mangsa), yang banding terbalik dengan laju penurunan populasi pemangsa xydt dx b - = (hasil nilai keseimbangan
mangsa dan pemangsa).
2 . y
menunjukkan laju pengurangan populasi pemangsa
dt y dy g - = (nilai keseimbangan
pemangsa), akan tetapi laju pertumbuhan
dt y x dy d = (hasilnilai keseimbangan mangsa dan pemangsa juga).
Dalam hal ini diperoleh sepasang persamaan
diferensial, yaitu: · Persamaan mangsa: xy
x dt dx b a - = (2.1.1) di
mana xy b - menunjukkan bahwa populasi
mangsa mulai menurun.
·
Persamaan pemangsa: xy y dt dy d g + - = (2.1.2) di mana xy d menunjukkan bahwa populasi pemangsa
mulai meningkat.
Pada model sistem seperti ini, para pemangsa
tumbuh dengan subur pada saat mangsanya
sangat banyak, akan tetapi pada akhirnya persediaan makanan mereka akan menurun. Ketika populasi pemangsa
menurun, maka populasi mangsa akan
meningkat lagi. Keadaan ini akan terus berputar (tumbuh dan turun). ( Boyce. 1992) 2 . 2 Kesetimbangan
Populasi Keseimbangan populasi akan terjadi apabila tingkat populasi tidak berubah,
atau kedua persamaan diferensial sama dengan nol.
Contoh Skripsi Matematika:Menentukan Nilpai Eigen Dari Matriks Jacobian Dalam Sistem Persamaan Lotka-VolterraDownloads Versi PDF >>>>>>>Klik Disini
0 komentar:
Posting Komentar