BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Pentingnya menuntut
ilmu pengetahuan, baik
ilmu agama maupun
ilmu matematika secara
umum wajib dalam
segala hal. Dalam
hadits juga dijelaskan bahwa
mencari ilmu wajib
hukumnya bagi manusia
untuk persaingan teknologi modern.
Selama
ini mungkin semua
manusia mengetahui beberapa
bangsa yang terkenal
maju dalam hal
ilmu pengetahuan diantaranya
bangsa Yunani, Mesir, Cina, dan Babilonia. Kata “Cina” dalam hadist
di atas hanya sekedar kiasan untuk mengingatkan
akan pentingnya mencari ilmu pengetahuan secara luas, bahkan ke negeri-negeri seberang.
Teori
integral adalah salah
satu ilmu yang
termasuk di dalam
kelompok analisis yang
masih tetap berkembang
seperti ilmu-ilmu lainnya
baik dari segi teori maupun
pemakainya. Di antara
cabang-cabang utama matematika,
analisis termasuk cabang terbesar, yang meliputi analisis real (termasuk teori
ukuran dan integral),
analisis kompleks, analisis
Fourier, analisis fungsional,
persamaan diferensial biasa,
persamaan diferensial parsial,
persamaan integral, sistem dinamik, topologi, teori operator, dan aljabar
operator.
Persamaan integral merupakan kebalikan dari
persamaan diferensial. Teori integral
memiliki peranan yang sangat signifikan dalam perkembangan teknologi modern.
Munculnya masalah-masalah yang
berkaitan dengan pengintegralan sebagai
langkah utama dalam
penyelesaian persamaan-persamaan diferensial
di bidang matematika,
fisika dan teknik
sebagai ilmu-ilmu yang
menopang perkembangan teknologi.
Konsep integral Riemann dan integral Lebesgue
diperkenalkan oleh Georg Friedrich Bernhard
Riemann (1826-1866) dan Henri Leon
Lebesgue (1875-1944) juga dalam
studi analisis. Contoh
lainnya, bilangan ordinal
dan kardinal tak hingga dikembangkan oleh G. Cantor
(1845-1918) dalam upayanya memecahkan suatu masalah analisis real. (Jones, Franks,
1993).
Jones,
Franks (1993) menambahkan
pula, bahwa pada
tahun 1902 Lebesgue, seorang matematikawan Perancis
mencermati adanya fungsi yang tidak terintegral Riemann
yaitu fungsi yang
nilainya 0 dan
1. Selanjutnya Lebesgue menyusun
teori ukuran yang
terkenal dengan ukuran
Lebesgue. Lebesgue menyusun
teori integral baru
yang merupakan perluasan
dari integral Riemann karena jika fungsi f terintegral Riemann pada
[a, b] maka fungsi f juga terintegral Lebesgue
pada [a, b].
Integral
yang dibahas pada
skripsi ini adalah
integral Lebesgue. Integral Lebesgue
dioperasikan pada fungsi
terbatas yang didefinisikan
pada suatu himpunan
berukuran berhingga. Fungsi
terbatas adalah fungsi
yang daerah hasilnya tidak boleh melampaui suatu bilangan
bernilai real yang sudah terlebih dahulu
ditentukan.
Suatu
himpunan pada garis
real mempunyai ukuran
nol terhitung dari selang yang
total panjang kurang
dari sebarang > 0 yang
diberikan. Setiap himpunan
terhingga mempunyai ukuran
0, demikian juga
himpunan bilangan rasional
dan banyak himpunan
tak terhingga lain.
Lebesgue memperlihatkan bahwa
suatu fungsi terbatas
akan terintegralkan secara
Riemann jika dan
hanya jika himpunan
kekontinuannya berukuran nol atau hampir kontinu.
Suatu fungsi terbatas disebut terintegral Lebesgue jika integral Lebesgue atas dan integral Lebesgue bawah mempunyai
nilai sama. Integral Lebesgue sama dengan infimum
dari integral suatu
fungsi sederhana yang
nilainya lebih besar dari fungsi
terbatas yang akan
diperiksa, apakah fungsi
terbatas tersebut terintegralkan
Lebesgue atau tidak.
Integral Lebesgue nilainya
sama dengan supremum
dari integral suatu
fungsi yang sederhana
yang nilainya kurang
dari fungsi terbatas
nilainya lebih kecil
dari fungsi terbatas
yang akan diperiksa, apakah fungsi terbatas tersebut terintegralkan
Lebesgue atau tidak.
Integral Lebesgue merupakan kejadian yang
lebih umum dari pada integral Riemann. Integral
Lebesgue perluasan dari
integral Riemann karena
jika fungsi terintegral
Riemann onto maka
fungsi juga terintegral
Lebesgue onto. Fungsi terintegral Lebesgue
memuat fungsi terintegral
Riemann, dan integral
Lebesgue suatu fungsi
adalah sama dengan
integral Riemann fungsi,
jika fungsi tersebut terintegral Riemann. (Hutahean, Effendi, 1989).
Fungsi
terukur didefinisikan melalui
konsep himpunan terukur.
Fungsi terukur yang dibahas
pada skripsi ini
berkaitan dengan konsep
ukuran suatu fungsi maupun himpunan titik. Definisi fungsi terukur menyatakan: misalkan
f(x) adalah fungsi bernilai real yang
didefinisikan pada himpunan E.
Fungsi f(x) disebut terukur Lebesgue atau
terukur pada E jika E (f(x) > ) = {x E : f(x) > } terukur
untuk semua bilangan real . (Murray,
R, Spiengel. 1992). Fungsi terukur
digunakan untuk menyatakan
suatu integral Lebesgue, yang
dapat diselesaikan oleh
suatu fungsi sederhana.
Fungsi sederhana adalah terbatas dan terukur. Fungsi terukur dapat
dikatakan fungsi yang hampir kontinu.
Dengan
menyatakan integral Lebesgue
sebagai suatu ukuran,
maka akan memudahkan
penulis dalam perhitungan-perhitungan menyelesaikan
integral Lebesgue.
Berdasarkan
kenyataan tersebut maka
penulis tertarik untuk
membuat skripsi yang berjudul
“INTEGRAL LEBESGUE di R ”.
1.2
Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan
yang dapat penulis temukan adalah
sebagai berikut : 1. Bagaimana
sifat-sifat terintegral Lebesgue dan pembuktiannya pada R ? 2. Bagaimana hubungan integral Lebesgue dengan
integral Riemann ? 1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah 1.
Memahami sifat-sifat terintegral Lebesgue dan membuktikan pada R 2. Memahami hubungan integral Lebesgue dengan
integral Riemann.
1.4
Manfaat Penulisan Dari penulisan
laporan penelitian ini penulis berharap
agar penelitian ini bermanfaat
bagi berbagai kalangan, antara lain : 1.
Bagi Penulis a.
Menambah pengetahuan dan keilmuan
tentang hal-hal yang berkaitan dengan
integral Lebesgue.
Contoh Skripsi Matematika:INTEGRAL LEBESGUE di R1Downloads Versi PDF >>>>>>>Klik Disini
0 komentar:
Posting Komentar