BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Iqra` merupakan perintah Allah yang pertama kali
disampaikan Jibril kepada nabi Muhammad
SAW, “Ma aqra`?” demikian pertanyaan nabi setelah berulangulang Jibril
menyampaikan perintah tersebut.
Mungkin mengherankan ketika perintah
tersebut ditujukan kepada
seseorang yang tidak
pernah membaca suatu kitab
sebelum turunnya Al-Quran dan tidak pernah menulis kitab dengan tangan kanannya
(QS 29: 48). Namun,
keheranan ini akan sirna jika kita sadari bahwa perintah
iqra` yang berarti membaca,
menelaah, meneliti, menghimpun
dan sebagainya dikaitkan
dengan “bi ismi
Rabbika”, suatu tindakan
yang didasari keimanan pada Allah SWT, ikhlas hanya
mengharapkan ridha Allah yang Maha Pencipta.
Kemudian “Wa rabbuka
Al-Akram” mengandung pengertian
bahwa Allah dapat
menganugerahkan puncak dari
segala yang terpuji bagi
hamba-Nya yang membaca (M.Quraish
Shihab, 2007:260) . Sungguhmotivasi yang luar biasa yang dijanjikan Allah kepada hamba-Nya, yang
menjadi niat dan keyakinan untuk selalu
meneliti, menelaah dan mengkaji terutama disiplin ilmu yang ditekuni.
Segala fenomena yang sering kita alami
sehari-hari,sebenarnya sudah terpola dengan rapi,
tersusun dari beberapa
aturan-aturan yang saling
berkaitan, ada langkah-langkahnya, perhitungannya bahkan
formulanya. Ahli matematika,
atau ilmuwan secara
umum tidak membuat
suatu rumus sedikitpun,
tetapi mereka menangkap
fenomena yang terjadi,
kemudian meneliti dan
merumuskan dalam 1 bentuk bahasa
mereka sendiri sehingga
ditemukan rumus-rumus atau
teori-teori yang bisa
dikategorikan ilmiah. Pengetahuan mengenai ilmu ukur, perhitungan dan bilangan
tidak akan lepas dari matematika.
Teori graf dan
aljabar merupakan cabang
dari matematika.
Kajian
mengenai konsep-konsep aljabar
dalam teori graf
merupakan suatu hal yang
penting untuk dilakukan karena dari hasil penelitiannya nanti, akan diperoleh beberapa pola atau karakteristik graf yang
memilikiketeraturan dalam perspektif aljabar. Dari
pola-pola yang ditemukan
inilah, kemudian dijadikan
dasar untuk mengklasifikasikan berbagai macam sifat-sifat
dan karakteristik suatu graf dikaji dari
sisi aljabarnya.
Penelitian aljabar
dalam teori graf
merupakan topik dari matematika
yang mengkaji graf
melalui sifat-sifat aljabar
dari representasi graf
dalam matriks.
Lebih spesifik lagi, teori spectra graf
membahas sifat-sifat graf yang berhubungan dengan
polinomial karakteristik, nilai
eigen, dan vektor
eigen dari representasi graf dalam matriks terhubung langsung atau
matriks Laplacian.
Secara
historis, teori spectra graf mulai dirintis pada tahun 1950-an dan 1960-an.
Salah satu topik dalam teori spectra graf yang banyak diteliti adalah spectrum.
Kajian
tentang spectrum pada
monograf telah diperkenalkan
oleh Dragoš M.
Cvetković, Michael Doob, dan Horst Sachs dalam
karya ilmiahnya yang berjudul Spectra of
Graph pada tahun 1980,
kemudian direvisi dan
diterbitkan dalam sebuah buku
yang berjudul Recent Results in the
Theory of Graph Spectra pada tahun 1988. (http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_Graph_Theory).
Pada
umumnya, studi tentang
spectrum graf didasari
pada nilai eigen
dari representasi matriks
terhubung langsung atau Laplacian pada graf yang memiliki sifat-sifat
matematika yang menarik
dan memiliki pola
tertentu. Studi tentang aplikasinya juga telah dilakukan, yaitu
penerapan spectrum matriks Laplace dalam menentukan
banyaknya pohon merentang
pada suatu graf
(Geir Agnarsson, 2007:98), penerapan polinomial karakteristik
graf pada indeks topologi ZG untuk identifikasi
struktur molekul pada
ikatan kimia (Haruo
Hosoya, 2007:239) dan aplikasi
spectrum Laplacian graf pada segmentasi gambar.
Salah satu kendala dalam penelitian tentang
spectrum graf adalah menentukan nilai
eigen dari persamaan
karakteristik matriks terhubung
langsung pada jenisjenis graf
yang sulit ditemukan
bentuk umum matriks segitiga, sehingga
tidak diperoleh bentuk
umum nilai eigen
dari graf tersebut.
Kemudian sulitnya memperoleh
bentuk umum matriks
terhubung langsung dari
graf hasilkali kartesius.
Oleh karena itu,
dalam skripsi ini
dibahas penerapan polinomial Chebyshev untuk menentukan nilai eigen dari
graf yang sulit ditemukan bentuk umum matriks segitiga,
dan penerapan hasilkali
Kronecker untuk menentukan bentuk umum matriks terhubung langsung dari
graf hasilkali kartesius.
Dari
hasil kajian literatur,
spectrum graf yang
telah teliti meliputi
graf komplit ( ) n K , graf komplit bipartisi ( ) , m n K , graf sikel ( ) n C , graf lintasan ( ) n P , graf triangular ( ) ( ) n L K , dan graf Lattice ( ) , ( ), m m L K m ≥ . Jenis-jenis graf yang belum ada penelitian sebelumnya adalah graf
hasilkali kartesius, yaitu graf tangga (
) 2 n P P × , graf jaring-jaring ( ) m n
P P × , dan graf buku ( ) 2 1,n P K × .
Oleh sebab itu, dalam penelitian
ini, penulis tertarik
untuk meneliti spectrum graf
hasilkali kartesius dengan judul
penelitian “Spectrum Graf Hasilkali Kartesius”.
1.2
Rumusan Masalah Masalah yang
ingin diselesaikan dalam skripsi ini adalah menentukan bentuk umum spectrum jenis-jenis graf hasilkali
kartesius.
1.3
Tujuan Penelitian Berdasarkan
rumusan masalah di atas, maka penelitian
yang dibahas dalam skripsi ini
bertujuan untuk menentukan
bentuk umum spectrum
jenis-jenis graf hasilkali kartesius.
1.4 Batasan Masalah Pada
skripsi ini, masalah
yang dikaji dibatasi
pada graf sederhana
dan graf yang
diperoleh dari operasi
hasilkali kartesius, yaitu
graf tangga ( ) 2 n P P × , graf jaring-jaring ( ) m n P P × , dan graf buku ( ) 2 1,n P K × .
1.5
Manfaat Penelitian Adapun manfaat dalam
penulisan skripsi ini adalah: 1. Bagi Penulis Penelitian
ini digunakan sebagai
tambahan informasi dan
wawasan pengetahuan tentang
teori spectrum graf,
khususnya spectrum graf hasilkali
kartesius.
2. Bagi
Lembaga Hasil penelitian ini dapat
digunakan sebagai tambahan kepustakaan yang dijadikan sarana pengembangan wawasan keilmuan
khususnya di jurusan matematika untuk
mata kuliah aljabar linier dan teori graf.
3. Bagi
Pengembangan Ilmu Hasil penelitian ini dapat dijadikan sebagai
bahankajian keilmuan untuk menambah
wawasan keilmuan.
1.6 Metode Penelitian Metode
yang digunakan dalam
skripsi ini adalah
metode penelitian kepustakaan,
yaitu dengan mengumpulkan
data dan informasi
dari berbagai sumber
seperti buku, jurnal,
atau prosiding seminar
nasional atau internasional.
Penelitian
ini dilakukan dengan
mengkaji teorema-teorema spectra
graf dari literatur
yang diperoleh, kemudian
diterapkan pada jenis
graf yang lain
yang belum ada penelitian
mengenai graf tersebut.
Prosedur
perhitungan dan pencarian
pola dilakukan dengan
menggunakan program komputer,
yaitu Matlab 6.5
untuk perhitungan matriks
dengan entri numerik, Maple 12 untuk perhitungan matriks
dengan entri simbol dan Wolfram Mathematica 7.0
untuk perhitungan hasilkali
Kronecker pada matriks
terhubung langsung dan spectrum
dari graf hasilkali kartesius.
Diberikan
dua graf sederhana
G dan H,
maka langkah-langkah yang dilakukan dalam
menentukan spectrum dari
hasilkali kartesius graf
G dan H adalah:
1.
menentukan matriks terhubung langsung dari graf GdanH.
2.
menentukan matriks terhubung
langsung dari graf
hasilkali kartesius G dan
H.
3.
mencari bentuk umum
matriks terhubung langsung
dari graf hasilkali kartesius G dan H.
4.
menghitung spectrum dari graf Gdan H.
5.
menghitung spectrum hasilkali kartesius graf Gdan H.
6.
mengamati ada tidaknya
hubungan spectrum graf G dan
H dengan spectrum hasilkali kartesius graf G dan H.
7.
menentukan bentuk umum spectrum hasilkali kartesius graf Gdan
H, jika masing-masing spectrum
dari graf tersebut sudah diketahui.
8.
Rumus yang diperoleh
dari langkah 7,
masih dapat dianggap
sebagai dugaan (konjektur).
Konjektur yang dihasilkan
kemudian dibuktikan dengan
terlebih dahulu merumuskan
konjekturnya sebagai suatu teorema yang dilengkapi dengan bukti-bukti.
9.
Menerapkan teorema pada langkah 8 ke jenis-jenis graf hasilkali
kartesius, kemudian membuktikan teorema
yang diperoleh.
1.7
Sistematika Penulisan Skripsi ini
terdiri dari empat
bab dengan sistematika
penulisan sebagai berikut: BAB I.
PENDAHULUAN Bab ini
mendeskripsikan secara umum mengenai isi skripsi. Pembagian bab ini terdiri dari latar belakang, rumusan
masalah, tujuan penelitian, batasan
masalah, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II
KAJIAN PUSTAKA Bagian ini
terdiri atas konsep-konsep
(teori-teori) yang mendukung bagian
pembahasan. Konsep-konsep tersebut
antara lain membahas tentang
analisis matriks, polinomial
Chebyshev, teori graf dan
teori spectra graf
beserta hasil-hasil penelitian
sebelumnya, serta kajian keagamaan.
0 komentar:
Posting Komentar