BAB PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Matematika merupakan
suatu ilmu yang
mempunyai obyek kajian abstrak
yang universal dan mendasari perkembangan teknologi modern serta mempunyai peran penting dalam berbagai
disiplin ilmu pengetahuan. Apalagi di
era globalisasi, teknologi berkembang dengan pesatnya serta pembangunan sedang
giat-giatnya dilaksanakan. Perkembangan
teknologi yang erat hubungannya dengan
kegiatan manusia sehari-hari
adalah matematika.
Dengan bantuan
matematika, masalah tersebut
akan lebih mudah
dipahami dan dipecahkan
(Purwanto,1998:1). Carl Friedrich
Gauss mengatakan matematika
sebagai “Ratunya Ilmu
Pengetahuan”, sehingga matematika tidak
dapat dilepaskan dari
berbagai ilmu yang
ada dan matematika
juga membantu dalam kehidupan
sehari-hari (Falaqiyah, 2004:1).
Secara umum beberapa konsep dari
disiplin ilmu telah dijelaskan dalam Al-Qur’an. Salah
satu konsep dari
disiplin ilmu matematika
yang terdapat dalam
Al-Qur’an adalah masalah
teori graf. Teori
graf merupakan cabang matematika
yang didefinisikan sebagai
pasangan himpunan (V,E)
ditulis dengan notasi
G=(V,E), dengan V adalah
himpunan tidak kosong dari
titiktitik (vertices) dan
E adalah himpunan
sisi (edges) yang
menghubungkan sepasang titik
(Munir, 2005: 356).
Banyak ajaran serta amalan dalam Islam
yang dapat direpresentasikan dalam teori
graf. Representasi dari
graf adalah dengan
menyatakan obyek dengan titik, noktah, bulatan, titik (vertec), sedangkan hubungan antara objek dinyatakan
dengan sisi (edge).
Misalnya peristiwa Isra’
dan Mi’raj. Isra’ adalah perjalanan
Nabi Muhammad dari
Masjidil Haram di
Makkah ke Masjidil Aqsha di Palestina. Mi’roj adalah
perjalanan Nabi Muhammad dari Masjidil
Aqsha ke Sidratulmuntaha. Terkait dengan kedua peristiwa tersebut, maka kejadian ini dapat digambarkan sebagai
berikut: v2 v G:v Isra’ Mi’raj Gambar 1.1 Representasi Isra’ dan Mi’raj dalam
Bentuk Graf Gambar 1.1 memperlihatkan bahwa
ada tiga titik
yang dihubungkan oleh
tiga sisi. Titik v menggambarkan Masjidil
Haram, titik v menggambarkan Masjidil
Aqsha dan titik v menggambarkan Sidratulmuntaha. Sedangkan
tiga sisi menggambarkan
perjalanan Nabi Muhammad yaitu Isra’ (dari Masjidil Haram ke
Masjidil Aqsha) dan Mi’raj (dari
Masjidil Aqsha ke Sidratulmuntaha).
Teori graf
adalah teori lama
yang hingga kini
masih begitu banyak ditemukan
aplikasinya. Ide dasarnya
diperkenalkan pertama kali
pada abad ke-18
oleh matematikawan Swis
Leonhard Euler. Pada
waktu itu, ia menggunakan
graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg yang terkenal.
Konisberg adalah sebuah
kota di sebelah
timur Prussia (Jerman) dimana terdapat sungai pregel dan tempat
tinggal Duke of Prussia pada abab ke-16 (tahun
1736). Sungai Pregel
membagi kota menjadi
4 daratan yang mengalir
mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang
menjadi dua anak sungai.
Pada abad ke-18 dibangunlah
tujuh jembatan yang menghubungkan
keempat daratan tersebut.
Akhirnya Euler memecahkan
masalah ini dengan merepresentasikannya ke
dalam graf dengan
keempat daratan sebagai
titik (vertec) dan ketuju jembatan sebagai sisi (edge). Bahkan 3 abad setelahnya, teori
ini masih digunakan
untuk menyelesaikan masalah
dalam berbagai bidang.
Pada umumnya, teori
graf digunakan untuk
memodelkan persoalan dan mencari solusinya (Munir, 2005:354).
Masalah faktorisasi banyak
diterapkan dalam kegiatan manusia seharihari,
misalnya masalah penjadwalan
dalam turnamen sepak
bola. Suatu kejuaraan
sepak bola dalam
bentuk turnamen setengah
kompetisi, yakni setiap tim bertanding melawan setiap tim yang
lainnya tepat satu kali. Setiap tim hanya
bertanding paling banyak
satu kali setiap
minggunya. Untuk menyelesaikan seluruh pertandingan dengan
jumlah n
tim, dibutuhkan waktu minimal n-1
minggu, apabila n
adalah genap. Untuk
n ganjil, dibutuhkan minimal
n minggu. Pada
setiap minggunya terdapat
satu tim yang
tidak bertanding, biasanya
disebut mendapat bye. Untuk menyelesaikan masalah ini dibutuhkan beberapa pengetahuan dari geometri.
Bahasan mengenai
faktorisasi dari suatu
graf merupakan pembahasan yang
masih jarang. Akan
tetapi masalah faktorisasi
pada graf komplit
telah dibahas dalam
skripsi oleh Vera
Mandailina tahun 2009.
Berdasarkan pembahasan dalam
skripsi tersebut diperoleh jumlah
faktor-faktor pada graf komplit sebagai
berikut: (1) Graf
komplit n K dengan n
genap memiliki faktor-1
sebanyak 21 n (2) Graf
komplit n K dengan n
ganjil memiliki faktor-2 sebanyak n .
Oleh sebab itu, dalam penelitian
ini penulis tertarik untuk meneliti dan melanjutkan mengenai
faktorisasi graf beraturan-r
yang memiliki faktor-1, faktor-2 dan faktor-3 yang dikemas dalam
judul penelitian: “Faktorisasi Graf beraturan-r
dengan Order Genap”.
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di
atas, maka rumusan masalah yang akan digunakan adalah:
Bagaimana pola faktorisasi
graf beraturan-r ( 2) r dengan order genap
yang memiliki faktor-1, graf beraturan-r yang memiliki faktor-2 dan faktor-3?.
1.3 Tujuan Berdasarkan rumusan
masalah di atas,
maka tujuan skripsi
ini adalah untuk
mengetahui pola umum
faktorisasi graf beraturan-r ( 2) r dengan
order
genap yang memiliki faktor-1,
graf beraturan-r yang
memiliki faktor-2 dan faktor-3.
1.4 Batasan Masalah Skripsi ini
membahas faktorisasi graf
beraturan-r yang memiliki faktor-1,
faktor-2 dan faktor-3.
Akan tetapi penulis
membatasi pada graf sederhana, terhubung
(connected) yang berorder
genap (2 ) n dimana 2 n () n . Graf sederhana adalah graf
yang tidak memuat loop dan sisi rangkap (multiple
edges). Sedangkan graf
dikatakan terhubung jika
untuk setiap titik
di G selalu terdapat lintasan (path)
yang menghubungkan kedua titik
tersebut.
Skripsi ini juga membatasi graf
beraturan-2 dengan menggunakan graf cycle dan
graf beraturan-r dengan 3 r menggunakan graf
tangga dengan penambahan sebarang sisi sesuai dengan graf
beraturan-r yang memenuhi.
1.5 Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari
penulisan skripsi ini adalah: 1. Bagi
Penulis a. Menambah informasi
dan wawasan keilmuan
tentang teori graf, khususnya
faktorisasi pada graf beraturan-r b. Menambah pengetahuan
tentang masalah sebenarnya,
yaitu penggunaan teori-teori
yang diterima di
bangku kuliah tentang
teori graf, khususnya faktorisasi
pada graf beraturan-r.
2. Bagi Pembaca a. Penelitian
mengenai faktorisasi graf
beraturan-r dapat digunakan sebagai langkah awal pembahasan yang dapat
dilanjutkan sampai faktor ke-n () n b. Menambah wawasan
keilmuan tentang teori graf khususnya faktorisasi pada graf beraturan-r c. Sebagai rujukan untuk penelitian yang akan
datang.
3. Bagi
lembaga Hasil penelitian ini dapat digunakan sebagai tambahan kepustakaan yang dijadikan sarana pengembangan wawasan keilmuan
khususnya di jurusan matematika untuk
mata kuliah teori graf.
1.6 Metode Penelitian 1. Jenis dan Pendekatan Penelitian Jenis penelitian
ini adalah deskriptif
kualitatif, yaitu pencarian
fakta dengan interpretasi
tepat untuk membuat
gambaran atau lukisan
secara sistematis, faktual,
dan akurat. Dengan
demikian, pendekatan yang digunakan adalah
pendekatan kualitatif dengan
metode kepustakaan (Library Research)
yaitu usaha mendalami,
mencermati, menelaah, dan mengidentifikasi pengetahuan
yang ada dalam
keperpustakaan (Hasan, 2002:45).
2. Jenis dan Sumber Data Jenis dan sumber data
pada penelitian ini adalah: a. Data
primer, diperoleh dengan menggambar
beberapa graf beraturan-r dan mencari banyak faktor-faktor yang dimiliki oleh
graf beraturan-r b. Data skunder,
diperoleh dengan cara mengambil
teorema-teorema yang berhubungan dengan
penelitian, misalnya teorema lemma jabat tangan untuk mengetahui banyaknya sisi dan derajat
pada suatu graf.
3.
Teknik Pengumpulan Data Teknik
pengumpulan data dalam
penelitian ini yaitu
dengan cara menggambar
beberapa graf beraturan-r
kemudian menentukan faktorfaktor
pada graf beraturan-r
sehingga menghasilkan data
berupa angkaangka yang
menunjukkan nilai dari
banyaknya faktor pada
graf beraturan-r.
4. Menganalisis Data Langkah-langkah yang
diambil dalam mengenalisis data dalam penelitian ini adalah: a.
Menentukan graf beraturan-r
sesuai order yang diberikan sampai order 10 dan menentukan faktor pada graf beraturan-r
b. Menentukan pola faktorisasi pada graf
beraturan-r c. Merumuskan teorema
tentang faktorisasi pada graf beraturan-r d.
Membuktikan teorema.
5. Rancangan penelitian a. Merumuskan masalah Sebelum peneliti
melakukan penelitian, terlebih
dahulu disusun rencana penelitian bermula dari suatu masalah
tentang faktorisasi pada graf
beraturan-r.
b. Mengumpulkan data Mengumpulkan data
dari berbagai literatur
pendukung, baik yang bersumber
dari buku, jurnal, artikel, diktat kuliah, internet dan lainnya yang
berhubungan dengan permasalahan
yang akan dibahas
dalam penelitian ini.
c. Menganalisis data Menganalisis data
sesuai dengan langkah-langkah yang
dijelaskan sebelumnya.
d. Membuat kesimpulan Kesimpulan dalam
penelitian ini berupa
pola faktorisasi yang merupakan
hasil faktorisasi pada graf beraturan-r dengan order genap.
0 komentar:
Posting Komentar