BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Suatu runtun waktu adalah himpunan observasi beraturan dalam waktu. Jika pengalaman yang lalu atau keadaan yang akan datang dapat diramalkan secara pasti maka runtun waktu itu dinamakan deterministik dan tidak memerlukan pen2 yelidikan lebih lanjut. Sebaliknya jika pengalaman yang lalu hanya bisa menunjukkan struktur probabilitas keadaan yang akan datang suatu runtun waktu maka runtun waktu semacam ini dinamakan stokastik (proses statistik). Runtun waktu statistik dapat dipandang sebagai suatu realisasi dari proses statistik (stokastik). Biasanya tidak mungkin diperoleh realisasi yang lain suatu proses statistik, yaitu tidak dapat diulang kembali keadaan untuk memperoleh himpunan observasi serupa seperti yang telah dikumpulkan. Selanjutnya, misalkan Z ,Z ,…,Z n adalah observasi yang telah diidentifikasikan suatu model yang diperkirakan telah menghasilkan observasi itu. Dengan demikian Z t dapat dipandang sebagai suatu realisasi dari suatu variable random Z t yang mempunyai distribusi dengan fungsi densitas probabilitas (fdp) tertentu, misalnya p(Z t ). Setiap himpunan Zt., misalnya Zt,…,Zt+r mempunyai fdp bersama p(Z t ,…,Z tr ), jika suatu proses statistic mempunyai fdp bersama p(Z 1 nt+ ,…,Z nmt + ) yang independen dengan t, sebarang pilihan n ,n ,…,n m yang mempunyai struktur probabilistik tidak berubah dengan berubahnya waktu. Proses seperti ini dinamakan stasioner, jika tidak demikian maka proses itu dinamakan non stasioner. Untuk proses Gaussian yang didefinisikan dengan sifat bahwa fkp yang berkaitan dengan sebarang himpunan waktu adalah normal multivariate, stasioneritasnya hanya memerlukan stasioneritas tingkat dua. Dengan demikian biasanya cukup puas dengan stasioneritas tingkat dua, yang dinamakan stasioneritas lemah dengan mengharapkan asumsi normalitas yang berlaku. Runtun waktu yang stasioner pada umumnya jarang sekali dijumpai dalam praktek namun stasioneritas merupakan asumsi yang sangat bermanfaat dalam mengestimasi runtun waktu. Pada tahun 1970-an Box-Jenkins membahas tentang model runtun waktu klasik, termasuk didalamnya model autoregresif klasik. Dalam perkembangannya model autoregresi itu mempunyai dua macam yakni model autoregresif yang stasioner dan model autoregresif yang tidak stasioner (nonstasioner). Pada runtun waktu yang stasioner biasanya bisa langsung dilakukan estimasi terhadap parameter- parameter yang ada, tetapi untuk model runtun waktu yang tidak stasioner perlu dilakukan langkah untuk menjadikan runtun waktu itu stasioner dulu, kemudian mengestimasi parameter-parameternya. Jika data asli menunjukan adanya ketidakstasioneran, maka perlu dilakukan transformasi, apabila ragam runtun aslinya telah stasioner tetapi nilai tengah runtun menunjukan keadaan yang tidak stasioner maka untuk menghilangkan ketidakstasioneran itu digunakan metode pembeda (diferensi). Cara ini akan membuat runtun waktu selisih (derajat tertentu) nilai-nilai yang beurutan dari runtun aslinya Zt (ditulis Wt=Zt-Z t-1) menjadi stasioner, yang dipandang bahwa Z t sebagai integrasi runtun waktu W t yang dikenal sebagai proses autoregresife integrated moving average (ARIMA), sehingga ketentuan yang berlaku pada proses ARMA barlaku pula untuk proses ARIMA. Proses ARIMA yang tidak mempunyai proses moving average disebut ARI(p,d) atau ARIMA (p,d,0). Model ini mempunyai beberapa macam model, diantaranya model autoregresif atau ARIMA(1,d,0), (2,d,0), (1,1,0), (2,1,0), (2,2,0) dan (p,d,0). Model runtun waktu yang tidak stasioner dikelompokan menjadi dua yaitu model runtun waktu tak stasioner (nonstasioner) homogen dan runtun waktu tak stasioner (nonstasioner) tak homogen. Runtun waktu nonstasioner yang homogen ditunjukkan oleh selisih (perubahan) nilai-nilai yang berurutan secara stasioner. Proses runtun waktu ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins klasik ditulis dalam bentuk: (1- φ B){(1-B) Z t - µ } = t α Selanjutnya misalkan Z ,Z ,…,Z n adalah sekumpulan observasi dan telah diidentifikasikan suatu model yang diperkirakan telah menghasilkan observasi itu dengan memandang observasi itu sebagai variabel random yang diambil dari distribusi bersama p(W│φ , µ , σ a ), dengan φ , µ dan σ a adalah parameter-parameter yang tidak diketahui, sedangkan W menunjukkan barisan atau vector yang stasioner dan merupakan selisih observasi di atas. Dari fungsi bersama tersebut dapat ditentukan estimasi maksimum Lielihoodnya. 1.2 Perumusan Masalah Rumusan masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah menentukan nilai-nilai parameter pada model ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins dengan mengegunakan metode maksimum likelihood. 1.3 Tinjauan Pustaka Dalam penelitian ini penulis menggunakan buku-buku berikut sebagai sumber utama, diantaranya: 1. Bain dan Engelhardt: Bentuk umum proses runtun waktu Arima (1,1,0) BoxJenkins adalah: Φ (B) ( ) { } µ − − ZtB 1 = t α Dimana: Φ = Fungsi autokorelasi parsial (fkp) B = Operator autoregresif stasioner Zt = Runtun waktu stasioner µ = Rata-rata populasi α t = Garisan variabel random yang independent 2. Arthanari, T. S dan Dodge, Y : Fungsi Likelihood untuk model ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins dapatt dikontruksikan melalui asumsi kenormalan dan independensi dari α t dengan distribusi probabilitas bersamanya p(a , a ,..., α t | , a σφ ), dan fungsi densitas bersama W n adalah p(W n | , a σφ ) dan fungsi likelihood untuk parameterparameternya adalah: Dimana: L = Fungsi Likelihood φ ˆ = Estimator untuk parameter φ a σ = Estimator untuk parameter σ W n = Runtun waktu stasioner setelah dilakukan differensi π = Nilai konstan (3,14) n = Banyak data sampel Mn = Matriks simetri ukuran nxn exp = Eksponensial bilangan konstan (2,7183) S( φ ) = Fungsi jumlah kuadrat untuk φ P = Fungsi densitas probabilitas Dalam proses maksimum likelihood, bentuk |M )0,1( n | untuk ukuran sampel kecil atau sedang dapat diabaikan karena tidak berpengaruh terhadap hasil yang diperoleh.
Kamis, 18 Desember 2014
Download Skripsi Mathematics:Menentukan Parameter Pada Model Arima (1,1,0) Box-Jenkins Menggunakan Estimasi Maksimum Likelihood
Langganan:
Posting Komentar (Atom)
0 komentar:
Posting Komentar