BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Dalam Matematika
banyak sekali dikenal
cabang ilmu. Salah
satu cabangnya adalah Analisis
Real. Analisis sendiri merupakan proses mengurai sesuatu
hal menjadi berbagai
unsur yang terpisah
untuk memahami sifat, hubungan,
dan peranan masing-masing unsur.
Analisis secara umum
sering juga disebut dengan
pembagian. Dalam logika, analisis atau pembagian berarti pemecah-belahan atau penguraian secara jelas
berbeda ke bagian-bagian dari suatu
keseluruhan.
Selain Analisis dalam Matematika
kita juga mengenal ilmu Kalkulus yang merupakan
ilmu dasar Matematika.
Kalkulus (dari Bahasa
Latin calculus yang
artinya "batu kecil")
adalah cabang ilmu
matematika yang mencakup
limit, turunan, integral,
dan deret takterhingga.
Kalkulus mempunyai aplikasi
yang luas dalam
bidang sains dan
teknik. Kalkulus memiliki
dua cabang utama, kalkulus
diferensial dan kalkulus integral yang saling
berhubungan melalui teorema
dasar kalkulus. Pada
periode zaman kuno beberapa pemikiran tentang integral
kalkulus telah muncul, namun tidak dikembangkan
dengan baik dan sistematis(Cennapedia;2000:1).Perhitungan volume
dan luas yang
merupakan fungsi utama
dari kalkulus integral
bisa ditelusuri kembali pada
Papirus Moskow Mesir
(1800 SM) di
mana orang Mesir
menghitung volume dari
frustrum piramid.
Archimedes
mengembangkan pemikiran ini
lebih jauh dan
menciptakan heuristik yang
menyerupai kalkulus integral.
Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang
pertama yang menurunkan rumus
perhitungan hasil jumlah
pangkat empat, dan
dengan menggunakan induksi
matematika, dia mengembangkan
suatu metode untuk menurunkan rumus
umum dari hasil
pangkat integral yang
sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.
Teorema fundamental
kalkulus menyatakan bahwa
turunan dan integral adalah dua operasi yang saling
berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan
nilai dari anti
derivatif dengan integral
tertentu. Karena lebih
mudah menghitung sebuah
anti derivatif daripada
mengaplikasikan definisi
dari integral, teorema
fundamental kalkulus memberikan
cara yang praktis
dalam menghitung integral
tertentu. Teorema fundamental
kalkulus menyatakan: Jika sebuah
fungsi f adalah kontiniu pada interval [a,b] dan jika Fadalah fungsi yang mana turunannya adalah
fpada interval (a,b), maka b
a a F b F dx x f ) ( ) ( ) ( Dalam
perkembangannya Kalkulus mengalami
perkembangan yang sangat pesat. Demikian juga dengan Integral
mengalami perkembangan yang cukup
signifikan dengan sumbangan pemikiran dari tokoh-tokoh matematika.
Sir Isac
Newton adalah orang yang
mempunyai kontribusi besar
dalam Kalkulus. Begitu
juga Leibniz. Hanya
saja Newton memulai
dari Turunan sedangkan Leibniz sebaliknya. Ia lah yang
pertama kali mencetuskan notasi Integral
yang dipakai hingga sekarang(www. Mate-mati-kaku. Com. Kalkulus dan sejarahnya. Di akses tanggal 22 Desember
2008).
Teorema Integral sudah dimulai
pada abad ke-17, tetapi hingga akhir abad tersebut
belum ada validitas
istilah-istilah Integrasi hingga
Cauchy membuktikannya sebagai
pijakan. Cauchy memberikan
definisi modern tentang kekontinuan dan mendefinisikan
Integral sebagai penjumlahan limit.
Dia memulai
pekerjaannya pada tahun
1814, dua tahun
kemudian dia mendefinisikan limit sebagai penjumlahan
Cauchy.
Kalkulus dikembangkan lebih
lanjut oleh Jacob dan Johann Bernoulli disusul oleh
L’Hopital sehingga makin
lengkap. (www. Mate-mati-kaku.
Com. Kalkulus dan sejarahnya. Di
akses tanggal 22 Desember 2008).
Suatu definisi
integral matematika juga
diberikan oleh Bernhard Riemann. Yang didasarkan pada suatu prosedur
pembatasan yang mendekati area suatu
daerah kurva linier dengan patahan daerah ke dalam papan-papan vertikal.
Di dalam analisis real di kenal
juga adanya Integral Darboux. Integral Darboux
pertama kali dikembangkan oleh Gaston Darboux. Integral Darboux berawal dari kesulitan untuk memperlihatkan bahwa semua fungsi monoton adalah
terintegral dan menunjukkan
bahwa hasil fungsi
yang terintegral adalah terintegral juga dengan menggunakan
definisi Integral Riemann. Oleh karena itu digunakan Integral Darboux yang lebih
sederhana. Pada Integral Darbouxkita dapat
menunjukkan semua bagian
yang berada pada Integral Riemann dan
akan mudah membuktikan
bahwa fungsi monoton
adalah terintegral. Pada
dasarnya Integral Darboux
adalah sama dengan Integral Riemann.
b a b a f D f R Artinya bahwa
suatu fungsi dikatakan terintegral Darboux jika
dan hanya jika
ia juga merupakan terintegral Riemann,
dan jika nilai-nilai integral
dari keduanya ada,
maka bersifat sama.
Integral Darboux mempunyai keuntungan
lebih sederhana dibanding Integral Rieman.
(www..wikipedia.org/wiki/Darboux_integral.
Di akses tanggal 13 Juli 2009) Adapun tentang
sesuatu yang mempunyai nilai yang sama tersebut dijelaskan
juga dalam Al-qur’an
dalam surat An-Nisa ayat
32 tentang kesetaraan
antara laki-laki dan
perempuan yang hampir
sama konsepnya dengan Integral Riemann
dan Darboux. Meski
pada dasarnya perempuan dikatakan
sama dengan laki-laki
tapi tetap laki-laki
lah yang bisa
menjadi pemimpin. Demikian juga
dengan Integral Darboux, meski mempunyai nilai yang
sama dengan Integral Riemann,
tapi tetaplah Integral Riemann yang menjadi
acuan karena Integral Darboux merupakan perluasan
dari Integral Riemann.
Berdasarkan uraian diatas, maka
penulis ingin mengkaji lebih dalam permasalahan ini
dan membahasnya dengan
judul “EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL DARBOUX” 1.2.
Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka dalam pembahasan ini,
akan diberikan rumusan masalah 1. Bagaimana
bukti ekuivalensi Integral Riemanndan Integral Darboux? 2. Bagaimana
bukti sifat-sifat Integral Darboux? 1.3. Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan
masalah diatas maka
tujuan dari penulisan skripsi ini adalah 1. Untuk membuktikan ekuivalensi Integral
RiemanndanIntegral Darboux 2. Untuk membuktikan sifat-sifat Integral Darboux.
1.4. Batasan Masalah Pada
penulisan skripsi ini, permasalahan hanya dibatasi pada Integral Riemann dan Integral Darboux serta pada
interval [a,b].
1.5. Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari
penelitian untuk skripsi ini antara lain: 1. Bagi peneliti, sebagai tambahan
informasi dan wawasan mengenai kaitan Integral
Riemanndan Integral Darboux.
2. Bagi pemerhati
matematika, sebagai tambahan
pengetahuan bidang matematika, khususnya bidang fungsi analisis.
1.7. Metode Penelitian Metode yang
digunakan oleh penulis
dalam menyusun skripsi
ini adalah metode kajian
pustaka, yaitu deskripsi
teoritis tentang objek
yang diteliti dengan cara
mendalami, mencermati, menelaah dan mengidentifikasi pengetahuan
yang ada dalam
kepustakaan (sumber bacaan,
buku-buku referensi atau
hasil penelitian lain)
untuk menunjang penelitian.
(Iqbal Hasan.2002: 45).
Adapun langkah-langkah dalam
penulisan skripsi ini adalah: 1. Merumuskan
masalah. Sebelum penulis
memulai kegiatannya, penulis membuat
rancangan terlebih dahulu
mengenai suatu permasalahan
yang akan dibahas.
2. Mengumpulkan data dan
informasi dengan cara membaca dan memahami beberapa literatur yang berkaitan dengan
Integral baik itu Riemanmaupun Darboux.
Diantara buku yang
digunakan penulis adalah
Pengantar Analisis Real,
Kalkulus dan Geometri
Analitis serta buku
lain yang menunjang penulisan skripsi ini.
3. Setelah memperoleh data-data dan informasi
mengenai Integral Darboux dan Riemann,langkah selanjutnya adalah membuktikan
Ekuivalensi baik itu dari Integral Riemann keIntegral Darboux
atau sebaliknya dengan menggunakan
teorema yang telah
ada kemudian menjelaskan
dan melengkapi bukti tersebut. Langkah selanjutnya yaitu membuktikan
sifatsifat dari Integral Darboux dengan menerapkan
sifat-sifat dari Integral Riemann.
4. Membuat kesimpulan.
Kesimpulan merupakan gambaran
langkah dari pembahasan
atas apa yang
sedang ditulis. Kesimpulan
didasarkan pada data yang telah dikumpulkan dan merupakan
jawaban dari permasalahan yang
dikemukakan.
0 komentar:
Posting Komentar